Este artículo contiene demostraciones matemáticas de algunas propiedades de la suma de números naturales : identidad aditiva, conmutatividad y asociatividad. Estas demostraciones se utilizan en el artículo Suma de números naturales .
En este artículo se utilizarán los axiomas de Peano para la definición de los números naturales. Con estos axiomas, la adición se define a partir de la constante 0 y la función sucesora S(a) mediante las dos reglas
Para la prueba de conmutatividad, es útil dar el nombre "1" al sucesor de 0; es decir,
Para cada número natural a , se tiene
Demostramos la asociatividad fijando primero los números naturales a y b y aplicando la inducción al número natural c .
Para el caso base c = 0,
Cada ecuación sigue por definición [A1]; la primera con a + b , la segunda con b .
Ahora, para la inducción. Suponemos la hipótesis de inducción, es decir, suponemos que para algún número natural c ,
Luego sigue,
En otras palabras, la hipótesis de inducción es válida para S ( c ). Por lo tanto, la inducción sobre c es completa.
La definición [A1] establece directamente que 0 es una identidad derecha . Demostramos que 0 es una identidad izquierda por inducción sobre el número natural a .
Para el caso base a = 0, 0 + 0 = 0 por definición [A1]. Ahora asumimos la hipótesis de inducción, que 0 + a = a . Entonces
Con esto se completa la inducción en un .
Demostramos la conmutatividad ( a + b = b + a ) aplicando la inducción al número natural b . Primero, demostramos los casos base b = 0 y b = S (0) = 1 (es decir, demostramos que 0 y 1 conmutan con todo).
El caso base b = 0 se sigue inmediatamente de la propiedad del elemento identidad (0 es una identidad aditiva ), que se ha demostrado anteriormente: a + 0 = a = 0 + a .
A continuación, probaremos el caso base b = 1, que 1 conmuta con todo, es decir, para todos los números naturales a , tenemos a + 1 = 1 + a . Probaremos esto por inducción sobre a (una prueba de inducción dentro de una prueba de inducción). Hemos demostrado que 0 conmuta con todo, por lo que, en particular, 0 conmuta con 1: para a = 0, tenemos 0 + 1 = 1 + 0. Ahora, supongamos que a + 1 = 1 + a . Entonces
Esto completa la inducción sobre a , y por lo tanto hemos demostrado el caso base b = 1. Ahora, supongamos que para todos los números naturales a , tenemos a + b = b + a . Debemos demostrar que para todos los números naturales a , tenemos a + S ( b ) = S ( b ) + a . Tenemos
Esto completa la inducción en b .