prueba F

Prueba de hipótesis estadística, que utiliza principalmente restricciones múltiples

Una pdf de prueba f con d1 y d2 = 10, con un nivel de significancia de 0,05. (La región sombreada en rojo indica la región crítica)

Una prueba F es cualquier prueba estadística utilizada para comparar las varianzas de dos muestras o la relación de varianzas entre varias muestras. El estadístico de prueba , variable aleatoria F, se utiliza para determinar si los datos probados tienen una distribución F bajo la hipótesis nula verdadera y los supuestos habituales verdaderos sobre el término de error (ε). ^[1] Se utiliza con mayor frecuencia al comparar modelos estadísticos que se han ajustado a un conjunto de datos , para identificar el modelo que mejor se adapta a la población de la que se tomaron muestras de los datos. Las "pruebas F " exactas surgen principalmente cuando los modelos se han ajustado a los datos utilizando mínimos cuadrados . El nombre fue acuñado por George W. Snedecor , en honor a Ronald Fisher . Fisher desarrolló inicialmente la estadística como índice de varianza en la década de 1920. ^[2]

Ejemplos comunes

Ejemplos comunes del uso de pruebas F incluyen el estudio de los siguientes casos

• 

  Tabla ANOVA unidireccional con 3 grupos aleatorios, cada uno con 30 observaciones. El valor F se calcula en la penúltima columna

  Hipótesis de que las medias de un conjunto dado de poblaciones normalmente distribuidas , todas con la misma desviación estándar , son iguales. Esta es quizás la prueba F más conocida y desempeña un papel importante en el análisis de varianza (ANOVA).
  • La prueba F de análisis de varianza (ANOVA) sigue tres supuestos
    1. Normalidad (estadísticas)
    2. Homogeneidad de la varianza
    3. Independencia de errores y muestreo aleatorio.

• La hipótesis de que un modelo de regresión propuesto se ajusta bien a los datos . Véase Suma de cuadrados por falta de ajuste .
• La hipótesis de que un conjunto de datos en un análisis de regresión sigue el más simple de dos modelos lineales propuestos que están anidados uno dentro del otro.
• Las pruebas de comparación múltiple se realizan utilizando los datos necesarios en la prueba F ya completada, si la prueba F conduce al rechazo de la hipótesis nula y el factor en estudio tiene un impacto en la variable dependiente. ^[1]
  • " comparaciones a priori "/ "comparaciones planificadas": un conjunto particular de comparaciones
  • "comparaciones por pares": todas las comparaciones posibles
    • es decir, prueba de diferencia menos significativa (LSD) de Fisher, prueba de diferencia honestamente significativa (HSD) de Tukey , prueba de Newman Keuls , prueba de Ducan
  • " comparaciones a posteriori "/ " comparaciones post hoc "/ " comparaciones exploratorias ": elija comparaciones después de examinar los datos
    • es decir, el método de Scheffé

Prueba F de la igualdad de dos varianzas.

La prueba F es sensible a la no normalidad . ^{[3] [4]} En el análisis de varianza (ANOVA), las pruebas alternativas incluyen la prueba de Levene , la prueba de Bartlett y la prueba de Brown-Forsythe . Sin embargo, cuando cualquiera de estas pruebas se realiza para probar el supuesto subyacente de homocedasticidad ( es decir, homogeneidad de la varianza), como paso preliminar para probar los efectos medios, hay un aumento en la tasa de error Tipo I del experimento . ^[5]

Fórmula y cálculo

La mayoría de las pruebas F surgen al considerar una descomposición de la variabilidad en una colección de datos en términos de sumas de cuadrados . El estadístico de prueba en una prueba F es la relación de dos sumas de cuadrados escaladas que reflejan diferentes fuentes de variabilidad. Estas sumas de cuadrados se construyen de modo que el estadístico tienda a ser mayor cuando la hipótesis nula no es cierta. Para que la estadística siga la distribución F bajo la hipótesis nula, las sumas de los cuadrados deben ser estadísticamente independientes y cada una debe seguir una distribución χ² escalada . La última condición está garantizada si los valores de los datos son independientes y están distribuidos normalmente con una varianza común .

Análisis de varianza de una sola vía

La fórmula para el estadístico de prueba ANOVA F unidireccional es

${\displaystyle F={\frac {\text{explained variance}}{\text{unexplained variance}}},}$

o

${\displaystyle F={\frac {\text{between-group variability}}{\text{within-group variability}}}.}$

La "varianza explicada" o "variabilidad entre grupos" es

${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}n_{i}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}})^{2}/(K-1)}$

donde denota la media de la muestra en el i -ésimo grupo, es el número de observaciones en el i -ésimo grupo, denota la media general de los datos y denota el número de grupos. ${\displaystyle {\bar {Y}}_{i\cdot }}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle {\bar {Y}}}$ ${\displaystyle K}$

La "varianza inexplicable" o "variabilidad dentro del grupo" es

${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{n_{i}}\left(Y_{ij}-{\bar {Y}}_{i\cdot }\right)^{2}/(N-K),}$

donde es la j ^-ésima observación en el i ^-ésimo grupo y es el tamaño total de la muestra. Este estadístico F sigue la distribución F con grados de libertad y bajo la hipótesis nula. La estadística será grande si la variabilidad entre grupos es grande en relación con la variabilidad dentro del grupo, lo que es poco probable que suceda si las medias poblacionales de los grupos tienen todos el mismo valor. ${\displaystyle Y_{ij}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d_{1}=K-1}$ ${\displaystyle d_{2}=N-K}$

Tabla F: Nivel 5% Valores críticos, que contienen grados de libertad tanto para el denominador como para el numerador que van del 1 al 20

El resultado de la prueba F se puede determinar comparando el valor F calculado y el valor F crítico con un nivel de significancia específico (por ejemplo, 5%). La tabla F sirve como guía de referencia que contiene valores F críticos para la distribución del estadístico F bajo el supuesto de una hipótesis nula verdadera. Está diseñado para ayudar a determinar el umbral más allá del cual se espera que el estadístico F exceda un porcentaje controlado del tiempo (por ejemplo, 5%) cuando la hipótesis nula es precisa. Para ubicar el valor F crítico en la tabla F, es necesario utilizar los grados de libertad respectivos. Esto implica identificar la fila y columna apropiadas en la tabla F que corresponde al nivel de significancia que se está probando (por ejemplo, 5%). ^[6]

Cómo utilizar los valores F críticos:

Si el estadístico F < el valor F crítico

• No rechazar la hipótesis nula
• Rechazar hipótesis alternativa
• No hay diferencias significativas entre los promedios de las muestras.
• Las diferencias observadas entre los promedios de las muestras podrían ser causadas razonablemente por el azar mismo.
• El resultado no es estadísticamente significativo.

Si el estadístico F > el valor F crítico

• Aceptar hipótesis alternativa
• Rechazar la hipótesis nula
• Hay diferencias significativas entre los promedios de las muestras.
• Las diferencias observadas entre los promedios de las muestras no podrían ser causadas razonablemente por el azar mismo.
• El resultado es estadísticamente significativo.

Tenga en cuenta que cuando solo hay dos grupos para la prueba F ANOVA unidireccional , donde t es el estadístico de Student . ${\displaystyle F=t^{2}}$ ${\displaystyle t}$

Ventajas

• Eficiencia de comparación de múltiples grupos: facilita la comparación simultánea de múltiples grupos, mejorando la eficiencia, particularmente en situaciones que involucran a más de dos grupos.
• Claridad en la comparación de varianzas: ofrece una interpretación sencilla de las diferencias de varianza entre grupos, lo que contribuye a una comprensión clara de los patrones de datos observados.
• Versatilidad en todas las disciplinas: demostrar una amplia aplicabilidad en diversos campos, incluidas las ciencias sociales, las ciencias naturales y la ingeniería.

Desventajas

• Sensibilidad a los supuestos: la prueba F es muy sensible a ciertos supuestos, como la homogeneidad de la varianza y la normalidad, que pueden afectar la precisión de los resultados de la prueba.
• Alcance limitado para comparaciones de grupos: la prueba F está diseñada para comparar variaciones entre grupos, lo que la hace menos adecuada para análisis más allá de este alcance específico.
• Desafíos de interpretación: la prueba F no identifica pares de grupos específicos con variaciones distintas. Es necesaria una interpretación cuidadosa y, a menudo, son esenciales pruebas post hoc adicionales para una comprensión más detallada de las diferencias entre grupos.

Problemas de ANOVA de comparación múltiple

La prueba F en el análisis de varianza unidireccional ( ANOVA ) se utiliza para evaluar si los valores esperados de una variable cuantitativa dentro de varios grupos predefinidos difieren entre sí. Por ejemplo, supongamos que un ensayo médico compara cuatro tratamientos. La prueba ANOVA F se puede utilizar para evaluar si alguno de los tratamientos es, en promedio, superior o inferior a los demás frente a la hipótesis nula de que los cuatro tratamientos producen la misma respuesta media. Este es un ejemplo de prueba "ómnibus", lo que significa que se realiza una única prueba para detectar cualquiera de varias diferencias posibles. Alternativamente, podríamos realizar pruebas por pares entre los tratamientos (por ejemplo, en el ejemplo del ensayo médico con cuatro tratamientos podríamos realizar seis pruebas entre pares de tratamientos). La ventaja de la prueba ANOVA F es que no necesitamos especificar previamente qué tratamientos se compararán y no necesitamos realizar ajustes para realizar comparaciones múltiples . La desventaja de la prueba ANOVA F es que si rechazamos la hipótesis nula , no sabemos qué tratamientos se pueden decir que son significativamente diferentes de los demás, ni, si la prueba F se realiza en el nivel α, podemos afirmar que el par de tratamientos con la mayor diferencia de medias es significativamente diferente en el nivel α.

Problemas de regresión

Considere dos modelos, 1 y 2, donde el modelo 1 está "anidado" dentro del modelo 2. El modelo 1 es el modelo restringido y el modelo 2 es el no restringido. Es decir, el modelo 1 tiene p ₁ parámetros y el modelo 2 tiene p ₂ parámetros, donde p ₁  <  p ₂ , y para cualquier elección de parámetros en el modelo 1, se puede lograr la misma curva de regresión mediante alguna elección de los parámetros del modelo. 2.

Un contexto común a este respecto es el de decidir si un modelo se ajusta a los datos significativamente mejor que un modelo ingenuo, en el que el único término explicativo es el término del intercepto, de modo que todos los valores predichos para la variable dependiente se establezcan iguales a los de esa variable. muestra promedio. El modelo ingenuo es el modelo restringido, ya que los coeficientes de todas las posibles variables explicativas están restringidos a cero.

Otro contexto común es decidir si existe una ruptura estructural en los datos: aquí el modelo restringido usa todos los datos en una regresión, mientras que el modelo no restringido usa regresiones separadas para dos subconjuntos diferentes de datos. Este uso de la prueba F se conoce como prueba de Chow .

El modelo con más parámetros siempre podrá ajustar los datos al menos tan bien como el modelo con menos parámetros. Por lo tanto, normalmente el modelo 2 dará un mejor ajuste (es decir, menor error) a los datos que el modelo 1. Pero a menudo uno quiere determinar si el modelo 2 da un ajuste significativamente mejor a los datos. Una solución a este problema es utilizar una prueba F.

Si hay n puntos de datos para estimar los parámetros de ambos modelos, entonces se puede calcular el estadístico F , dado por

${\displaystyle F={\frac {\left({\frac {{\text{RSS}}_{1}-{\text{RSS}}_{2}}{p_{2}-p_{1}}}\right)}{\left({\frac {{\text{RSS}}_{2}}{n-p_{2}}}\right)}}={\frac {{\text{RSS}}_{1}-{\text{RSS}}_{2}}{{\text{RSS}}_{2}}}\cdot {\frac {n-p_{2}}{p_{2}-p_{1}}},}$

donde RSS _i es la suma residual de cuadrados del modelo i . Si el modelo de regresión se calculó con ponderaciones, reemplace RSS _i con χ ² , la suma ponderada de los residuos al cuadrado. Bajo la hipótesis nula de que el modelo 2 no proporciona un ajuste significativamente mejor que el modelo 1, F tendrá una distribución F , con ( p ₂ − p ₁ ,  n − p ₂ ) grados de libertad . La hipótesis nula se rechaza si la F calculada a partir de los datos es mayor que el valor crítico de la distribución F para alguna probabilidad deseada de falso rechazo (por ejemplo, 0,05). Dado que F es una función monótona del estadístico de razón de verosimilitud, la prueba F es una prueba de razón de verosimilitud .

Ver también

• Bondad de ajuste

Referencias

1. Berger, Paul D.; Maurer, Robert E.; Celli, Giovana B. (2018). Diseño experimental. Cham: Editorial Internacional Springer. pag. 108.doi : 10.1007 /978-3-319-64583-4. ISBN 978-3-319-64582-7.
2. Lomax, Richard G. (2007). Conceptos estadísticos: un segundo curso . pag. 10.ISBN _ 978-0-8058-5850-1.
3. Caja, GEP (1953). "No normalidad y pruebas de variaciones". Biometrika . 40 (3/4): 318–335. doi :10.1093/biomet/40.3-4.318. JSTOR  2333350.
4. Markowski, Carol A; Markowski, Edward P. (1990). "Condiciones para la eficacia de una prueba de varianza preliminar". El estadístico estadounidense . 44 (4): 322–326. doi :10.2307/2684360. JSTOR  2684360.
5. Sawilowsky, S. (2002). "Fermat, Schubert, Einstein y Behrens-Fisher: la diferencia probable entre dos medias cuando σ12 ≠ σ22". Revista de métodos estadísticos aplicados modernos . 1 (2): 461–472. doi : 10.22237/jmasm/1036109940 . Archivado desde el original el 3 de abril de 2015 . Consultado el 30 de marzo de 2015 .
6. Siegel, Andrew F. (1 de enero de 2016), Siegel, Andrew F. (ed.), "Capítulo 15 - ANOVA: pruebas de diferencias entre muchas muestras y mucho más", Estadísticas empresariales prácticas (séptima edición) , académico Prensa, págs. 469–492, doi :10.1016/b978-0-12-804250-2.00015-8, ISBN 978-0-12-804250-2, recuperado el 10 de diciembre de 2023

Otras lecturas

• Zorro, Karl A. (1980). Estadísticas económicas intermedias (Segunda ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 290–310. ISBN 0-88275-521-8.
• Johnston, Juan (1972). Métodos econométricos (Segunda ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 35–38.
• Kmenta, enero (1986). Elementos de econometría (Segunda ed.). Nueva York: Macmillan. págs. 147-148. ISBN 0-02-365070-2.
• Maddala, GS ; Lahiri, Kajal (2009). Introducción a la econometría (Cuarta ed.). Chichester: Wiley. págs. 155-160. ISBN 978-0-470-01512-4.

enlaces externos

• Tabla de valores críticos de la prueba F
• Calculadora gratuita para pruebas F
• La prueba F para regresión lineal
• Conferencia de econometría (tema: prueba de hipótesis) en YouTube por Mark Thoma