En matemáticas , la geometría diferencial proyectiva es el estudio de la geometría diferencial , desde el punto de vista de las propiedades de los objetos matemáticos, como funciones , difeomorfismos y subvariedades , que son invariantes ante transformaciones del grupo proyectivo . Se trata de una mezcla de los enfoques de la geometría de Riemann para estudiar las invariancias y del programa de Erlangen para caracterizar las geometrías según sus simetrías de grupo.
El área fue muy estudiada por matemáticos desde alrededor de 1890 durante una generación (por JG Darboux , George Henri Halphen , Ernest Julius Wilczynski , E. Bompiani, G. Fubini , Eduard Čech , entre otros), sin que emergiera una teoría integral de invariantes diferenciales . Élie Cartan formuló la idea de una conexión proyectiva general , como parte de su método de marcos móviles ; hablando de manera abstracta, este es el nivel de generalidad en el que el programa de Erlangen puede reconciliarse con la geometría diferencial, mientras que también desarrolla la parte más antigua de la teoría (para la línea proyectiva ), a saber, la derivada de Schwarz , el invariante diferencial proyectivo más simple. [1]
A partir de la década de 1930, J. Kanitani, Shiing-Shen Chern , AP Norden, G. Bol, SP Finikov y GF Laptev realizaron trabajos posteriores . Incluso los resultados básicos sobre la osculación de curvas , un tema manifiestamente proyectivo-invariante, carecen de una teoría integral. Las ideas de la geometría diferencial proyectiva se repiten en las matemáticas y sus aplicaciones, pero las formulaciones dadas todavía tienen sus raíces en el lenguaje de principios del siglo XX.