En el campo matemático de la geometría de Riemann , la desigualdad sistólica de M. Gromov limita la longitud del bucle no contráctil más corto en una variedad de Riemann en términos del volumen de la variedad. La desigualdad sistólica de Gromov fue demostrada en 1983; [1] puede verse como una generalización, aunque no óptima, de la desigualdad del toro de Loewner y la desigualdad de Pu para el plano proyectivo real .
Técnicamente, sea M una variedad riemanniana esencial de dimensión n ; denotemos por sys π 1 ( M ) la 1-sístole de homotopía de M , es decir, la longitud mínima de un bucle no contráctil en M . Entonces la desigualdad de Gromov toma la forma
donde C n es una constante universal que sólo depende de la dimensión de M .
Una variedad cerrada se llama esencial si su clase fundamental define un elemento distinto de cero en la homología de su grupo fundamental , o más precisamente en la homología del espacio de Eilenberg–MacLane correspondiente . Aquí la clase fundamental se toma en homología con coeficientes enteros si la variedad es orientable, y en coeficientes módulo 2, en caso contrario.
Los ejemplos de variedades esenciales incluyen variedades asféricas , espacios proyectivos reales y espacios de lentes .
La prueba original de Gromov de 1983 tiene unas 35 páginas. Se basa en una serie de técnicas y desigualdades de la geometría global de Riemann. El punto de partida de la prueba es la incrustación de X en el espacio de Banach de funciones de Borel en X, equipado con la norma sup. La incrustación se define mediante la aplicación de un punto p de X a la función real en X dada por la distancia desde el punto p . La prueba utiliza la desigualdad del área , la desigualdad isoperimétrica , la desigualdad del cono y el teorema de deformación de Herbert Federer .
Una de las ideas clave de la prueba es la introducción de invariantes de llenado, a saber, el radio de llenado y el volumen de llenado de X. Es decir, Gromov demostró una desigualdad aguda que relaciona la sístole y el radio de llenado,
Válido para todas las variedades esenciales X ; así como una desigualdad
válido para todos los colectores cerrados X .
Brunnbauer (2008) demostró que los invariantes de llenado, a diferencia de los invariantes sistólicos, son independientes de la topología de la variedad en un sentido adecuado.
Guth (2011) y Ambrosio & Katz (2011) desarrollaron enfoques para la prueba de la desigualdad sistólica de Gromov para variedades esenciales.
Se dispone de resultados más sólidos para superficies, donde las asintóticas cuando el género tiende a infinito ya se entienden bien, véase sístoles de superficies . Se dispone de una desigualdad uniforme para complejos 2 arbitrarios con grupos fundamentales no libres, cuya demostración se basa en el teorema de descomposición de Grushko .
