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En matemáticas , un prototile es una de las formas de un mosaico en una teselación . [1]
Una teselación del plano o de cualquier otro espacio es una cubierta del espacio por formas cerradas , llamadas teselas, que tienen interiores disjuntos . Algunas de las teselas pueden ser congruentes con una o más otras. Si S es el conjunto de teselas en una teselación, un conjunto R de formas se llama un conjunto de proto-teselas si no hay dos formas en R congruentes entre sí, y cada tesela en S es congruente con una de las formas en R. [2]
Es posible elegir muchos conjuntos diferentes de prototiles para un teselado: trasladar o rotar cualquiera de los prototiles produce otro conjunto válido de prototiles. Sin embargo, cada conjunto de prototiles tiene la misma cardinalidad , por lo que el número de prototiles está bien definido. Se dice que un teselado es monoédrico si tiene exactamente un prototile.
Se dice que un conjunto de prototiles es aperiódico si cada teselación con esos prototiles es una teselación aperiódica . En marzo de 2023, cuatro investigadores, Chaim Goodman-Strauss , David Smith , Joseph Samuel Myers y Craig S. Kaplan, anunciaron el descubrimiento de un prototile monoédrico aperiódico (monotile) y una prueba de que el tile descubierto por David Smith es un monotile aperiódico, es decir, una solución a un antiguo problema de Einstein abierto . [3] [4]
En dimensiones superiores, el problema se había resuelto anteriormente: la tesela Schmitt-Conway-Danzer es la prototesela de una teselación aperiódica monoédrica del espacio euclidiano tridimensional , y no puede teselar el espacio periódicamente.