Propiedad de pequeño límite

En matemáticas, la propiedad de borde pequeño es una propiedad de ciertos sistemas dinámicos topológicos . Es un análogo dinámico de la definición inductiva de Lebesgue que cubre la dimensión cero.

Definición

Consideremos la categoría de sistema dinámico topológico ( sistema en breve) que consiste en un espacio métrico compacto y un homeomorfismo . Un conjunto se llama pequeño si tiene capacidad de órbita nula , es decir, . Esto es equivalente a: donde denota la colección de - medidas invariantes en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle E\subset X}$ ${\displaystyle \operatorname {ocap} (E)=0}$ ${\displaystyle \forall \mu \in M_{T}(X),\ \mu (E)=0}$ ${\displaystyle M_{T}(X)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

Se dice que el sistema tiene la propiedad de borde pequeño (SBP) si tiene una base de conjuntos abiertos cuyos bordes son pequeños, es decir, para todo . ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{O_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {ocap} (\partial O_{i})=0}$ ${\displaystyle i}$

¿Siempre se puede reducir la entropía topológica?

Los conjuntos pequeños fueron introducidos por Michael Shub y Benjamin Weiss mientras investigaban la cuestión "¿se puede siempre reducir la entropía topológica?". Citando de su artículo: ^[1]

"Para la entropía teórica de la medida, es bien sabido y bastante fácil de ver que una transformación de entropía positiva siempre tiene factores de entropía menor. De hecho, el factor generado por una partición de dos conjuntos con uno de los conjuntos que tiene una medida muy pequeña siempre tendrá una entropía pequeña. Nuestro propósito aquí es tratar la cuestión análoga para la entropía topológica... Excluiremos el factor trivial, donde se reduce a un punto".

Recordemos que un sistema se denomina factor de , o bien se denomina extensión de , si existe una aplicación sobreyectiva continua que es equivalente , es decir, para todo . ${\displaystyle (Y,S)}$ ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle (Y,S)}$ ${\displaystyle \varphi :X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \varphi (Tx)=S\varphi (x)}$ ${\displaystyle x\in X}$

Así, Shub y Weiss preguntaron: Dado un sistema y , ¿se puede encontrar un factor no trivial tal que ? ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle (Y,S)}$ ${\displaystyle \operatorname {h_{top}} (Y,S)<\varepsilon }$

Recordemos que un sistema se denomina mínimo si no tiene subconjuntos cerrados e invariantes propios no vacíos. Se denomina infinito si . ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |X|=\infty }$

Lindenstrauss introdujo el SBP y demostró: ^[2]

Teorema: Sea una extensión de un sistema minimal infinito. Son equivalentes: ${\displaystyle (X,T)}$

1. ${\displaystyle (X,T)}$tiene la propiedad de límite pequeño.
2. ${\displaystyle \operatorname {mdim} (X,T)=0}$, donde denota la dimensión media . ${\displaystyle \operatorname {mdim} }$
3. Para cada , , existe un factor tal que y . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x\neq y\in X}$ ${\displaystyle \varphi _{xy}:(X,T)\rightarrow (Y_{xy},S)}$ ${\displaystyle \varphi _{xy}(x)\neq \varphi _{xy}(y)}$ ${\displaystyle \operatorname {h_{top}} (Y_{xy},S)<\varepsilon }$
4. ${\displaystyle (X,T)=\varprojlim (X_{i},T_{i})}$donde es un límite inverso de sistemas con entropía topológica finita para todo . ${\displaystyle \{(X_{i},T_{i})\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {h_{top}} (X_{i},T_{i})<\infty }$ ${\displaystyle i}$

Más tarde, este teorema fue generalizado al contexto de varias transformaciones conmutativas por Gutman, Lindenstrauss y Tsukamoto. ^[3]

Sistemas sin factores de entropía finitos no triviales

Sea y el homeomorfismo de cambio ${\displaystyle X=[0,1]^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$

${\displaystyle (\ldots ,x_{-2},x_{-1},\mathbf {x_{0}} ,x_{1},x_{2},\ldots )\rightarrow (\ldots ,x_{-1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots ).}$

Este es el mapa de Baker , formulado como un desplazamiento bilateral. Se puede demostrar que no tiene factores de entropía finitos no triviales. ^[2] También se pueden encontrar sistemas mínimos con la misma propiedad. ^[2] ${\displaystyle (X,T)}$

Referencias

1. Shub, Michael y B. Weiss. "¿Siempre se puede reducir la entropía topológica?". Teoría ergódica y sistemas dinámicos 11.3 (1991): 535–546.
2. Lindenstrauss, Elon (1 de diciembre de 1999). "Dimensión media, pequeños factores de entropía y un teorema de incrustación". Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 89 (1): 227–262. doi :10.1007/BF02698858. ISSN  0073-8301.
3. Gutman, Yonatan, Elon Lindenstrauss y Masaki Tsukamoto. "Dimensión media de las -acciones". Análisis geométrico y funcional 26.3 (2016): 778–817. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$