Dimensión media

En matemáticas , la dimensión media (topológica) de un sistema dinámico topológico es un número real extendido no negativo que es una medida de la complejidad del sistema. La dimensión media fue introducida por primera vez en 1999 por Gromov . ^[1] Poco después fue desarrollada y estudiada sistemáticamente por Lindenstrauss y Weiss . ^[2] En particular, demostraron el siguiente hecho clave: un sistema con entropía topológica finita tiene dimensión media cero. Para varios sistemas dinámicos topológicos con entropía topológica infinita, la dimensión media se puede calcular o al menos acotar por abajo y por arriba. Esto permite que la dimensión media se use para distinguir entre sistemas con entropía topológica infinita. La dimensión media también está relacionada con el problema de incrustar sistemas dinámicos topológicos en espacios de desplazamiento (sobre cubos euclidianos).

Definición general

Un sistema dinámico topológico consta de un espacio topológico de Hausdorff compacto y una autoaplicación continua . Sea , denotado el conjunto de cubiertas finitas abiertas de . Para definir su orden por ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha \in {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \operatorname {ord} (\alpha )=\max _{x\in X}\sum _{U\in \alpha }1_{U}(x)-1}$

Una cubierta finita abierta refina , denotado , si para cada , existe tal que . Sea ${\displaystyle \textstyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \beta \succ \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle V\in \beta }$ ${\displaystyle \textstyle U\in \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle V\subset U}$

${\displaystyle D(\alpha )=\min _{\beta \succ \alpha }\operatorname {ord} (\beta )}$

Téngase en cuenta que en términos de esta definición la dimensión de cobertura de Lebesgue se define como . ${\displaystyle \dim _{\mathrm {Leb} }(X)=\sup _{\alpha \in {\mathcal {O}}}D(\alpha )}$

Sean cubiertas finitas abiertas de . La unión de y es la cubierta finita abierta por todos los conjuntos de la forma donde , . De manera similar, se puede definir la unión de cualquier colección finita de cubiertas abiertas de . ${\displaystyle \textstyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle A\cap B}$ ${\displaystyle \textstyle A\in \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle B\in \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{n}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle X}$

La dimensión media es el número real extendido no negativo:

${\displaystyle \operatorname {mdim} (X,T)=\sup _{\alpha \in {\mathcal {\mathcal {O}}}}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {D(\alpha ^{n})}{n}}}$

dónde ${\displaystyle \textstyle \alpha ^{n}=\bigvee _{i=0}^{n-1}T^{-i}\alpha .}$

Definición en el caso métrico

Si el espacio topológico compacto de Hausdorff es metrizable y es una métrica compatible, se puede dar una definición equivalente. Para , sea el entero no negativo mínimo , tal que existe una cubierta finita abierta de por conjuntos de diámetro menor que tal que cualquier conjunto distinto de esta cubierta tiene intersección vacía. Nótese que en términos de esta definición la dimensión de cubierta de Lebesgue está definida por . Sea ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Widim} _{\varepsilon }(X,d)}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \textstyle n+2}$ ${\displaystyle \textstyle \dim _{\mathrm {Leb} }(X)=\sup _{\varepsilon >0}\operatorname {Widim} _{\varepsilon }(X,d)}$

${\displaystyle d_{n}(x,y)=\max _{0\leq i\leq n-1}d(T^{i}x,T^{i}y)}$

La dimensión media es el número real extendido no negativo:

${\displaystyle \operatorname {mdim} (X,d)=\sup _{\varepsilon >0}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {Widim} _{\varepsilon }(X,d_{n})}{n}}}$

Propiedades

• La dimensión media es un invariante de los sistemas dinámicos topológicos que toman valores en . ${\displaystyle \textstyle [0,\infty ]}$
• Si la dimensión de cobertura de Lebesgue del sistema es finita, entonces su dimensión media se desvanece, es decir , ${\displaystyle \textstyle \dim _{\mathrm {Leb} }(X)<\infty \Rightarrow \operatorname {mdim} (X,T)=0}$
• Si la entropía topológica del sistema es finita, entonces su dimensión media se desvanece, es decir , ^[2] ${\displaystyle \textstyle \dim _{\mathrm {top} }(X,T)<\infty \Rightarrow \operatorname {mdim} (X,T)=0}$

Ejemplo

Sea . Sea y el homeomorfismo de desplazamiento , entonces . ${\displaystyle \textstyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle X=([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \textstyle (\ldots ,x_{-2},x_{-1},\mathbf {x_{0}} ,x_{1},x_{2},\ldots )\rightarrow (\ldots ,x_{-1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots )}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mdim} (X,T)=d}$

Véase también

• Teoría de la dimensión
• Entropía topológica
• Espacios universales (en topología y dinámica topológica)

Referencias

1. Gromov, Misha (1999). "Invariantes topológicos de sistemas dinámicos y espacios de aplicaciones holomorfas I". Física matemática, análisis y geometría . 2 (4): 323–415. doi : 10.1023/A:1009841100168 . S2CID  117100302.
2. Lindenstrauss, Elon; Weiss, Benjamin (1 de diciembre de 2000). "Dimensión topológica media". Revista israelí de matemáticas . 115 (1). pág. 14: 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007/BF02810577 . ISSN  0021-2172. 

• Adler, R.; Downarowicz, T.; Misiurewicz, M. (2008). "Entropía topológica". Scholarpedia . 3 (2): 2200. Bibcode :2008SchpJ...3.2200A. doi : 10.4249/scholarpedia.2200 .

Enlaces externos

¿Qué es la dimensión media?