En la teoría de conjuntos diatónicos , la propiedad de Rothenberg es un concepto importante, la falta de contradicción y ambigüedad, en la teoría general de escalas musicales que fue introducida por David Rothenberg en una serie seminal de artículos en 1978. El concepto fue descubierto independientemente en un contexto más restringido por Gerald Balzano, quien lo denominó coherencia .
"Rothenberg llama a una escala 'estrictamente propia' si posee un orden genérico, 'propia' si admite ambigüedades pero no contradicciones, e 'impropia' si admite contradicciones". [1] Una escala es estrictamente propia si todos los intervalos de dos tonos son mayores que cualquier intervalo de un tono, todos los intervalos de tres tonos son mayores que cualquier intervalo de dos tonos, y así sucesivamente. Por ejemplo, con la escala diatónica , los intervalos de un tono son el semitono (1) y el tono (2), los intervalos de dos tonos son la tercera menor (3) y la tercera mayor (4), los intervalos de tres tonos son la cuarta (5) y el tritono (6), los intervalos de cuatro tonos son la quinta (7) y el tritono (6), los intervalos de cinco tonos son la sexta menor (8) y la sexta mayor (9), y los intervalos de seis tonos son la séptima menor (t) y la séptima mayor (e). Por lo tanto, no es estrictamente apropiada porque los intervalos de tres y cuatro pasos comparten un tamaño de intervalo (el tritono), lo que causa ambigüedad ("dos intervalos [específicos], que suenan igual, se asignan a códigos diferentes [intervalos generales]" [2] ). A una escala de este tipo se la llama simplemente "propia".
Por ejemplo, la escala pentatónica mayor es estrictamente propia:
Las escalas pentatónicas que son propias, pero no estrictamente, son: [2]
La única escala pentatónica estrictamente adecuada:
Las escalas heptatónicas que son propias, pero no estrictamente, son: [2]
La propiedad también puede considerarse como escalas cuya estabilidad = 1, siendo la estabilidad definida como "la relación entre el número de intervalos no ambiguos no dirigidos... y el número total de intervalos no dirigidos", en cuyo caso la escala diatónica tiene una estabilidad de 20 ⁄ 21 . [2]
La escala de doce iguales es estrictamente propia, como lo es cualquier escala temperada igual, porque solo tiene un tamaño de intervalo para cada número de pasos. La mayoría de las escalas temperadas también son propias. Como otro ejemplo, el fragmento armónico otonal 5 ⁄ 4 , 6 ⁄ 4 , 7 ⁄ 4 , 8 ⁄ 4 es estrictamente propio, con intervalos de un paso que varían en tamaño de 8 ⁄ 7 a 5 ⁄ 4 , intervalos de dos pasos varían de 4 ⁄ 3 a 3 ⁄ 2 , intervalos de tres pasos de 8 ⁄ 5 a 7 ⁄ 4 .
Rothenberg plantea la hipótesis de que las escalas adecuadas proporcionan un punto o marco de referencia que ayuda a la percepción (" gestalt estable ") y que las contradicciones de las escalas inadecuadas requieren un zumbido u ostinato para proporcionar un punto de referencia. [3]
Un ejemplo de una escala incorrecta es la escala japonesa Hirajōshi .
Sus pasos en semitonos son 2, 1, 4, 1, 4. Los intervalos de un solo paso varían desde el semitono de sol a la ♭ hasta la tercera mayor de la ♭ a do. Los intervalos de dos pasos varían desde la tercera menor de do a mi ♭ y el tritono, de la ♭ a re. Allí la tercera menor como intervalo de dos pasos es más pequeña que la tercera mayor que ocurre como intervalo de un paso, creando contradicción ("una contradicción ocurre... cuando el orden de dos intervalos específicos es el opuesto al orden de sus intervalos genéricos correspondientes". [2] ).
Rothenberg definió la propiedad en un contexto muy general; sin embargo, para casi todos los propósitos es suficiente considerar lo que en contextos musicales a menudo se llama una escala periódica , aunque de hecho estas corresponden a lo que los matemáticos llaman una función cuasiperiódica . Estas son escalas que repiten en un cierto intervalo fijo más alto cada nota en un cierto conjunto finito de notas. El intervalo fijo es típicamente una octava , y por lo tanto la escala consiste en todas las notas que pertenecen a un número finito de clases de tono . Si β i denota un elemento de escala para cada entero i, entonces β i + ℘ = β i + Ω , donde Ω es típicamente una octava de 1200 centavos, aunque podría ser cualquier cantidad fija de centavos; y ℘ es el número de elementos de escala en el período Ω, que a veces se denomina el tamaño de la escala.
Para cualquier i se puede considerar el conjunto de todas las diferencias por i pasos entre elementos de la escala class( i ) = { β n + i − β n }. Podemos, de la manera usual, extender el ordenamiento de los elementos de un conjunto a los conjuntos mismos, diciendo A < B si y sólo si para cada a ∈ A y b ∈ B tenemos a < b . Entonces una escala es estrictamente propia si i < j implica class( i ) < class( j ). Es propia si i ≤ j implica class( i ) ≤ class( j ). La propiedad estricta implica propiedad pero una escala propia no necesita ser estrictamente propia; un ejemplo es la escala diatónica en temperamento igual , donde el intervalo de tritono pertenece tanto a la clase de la cuarta (como cuarta aumentada ) como a la clase de la quinta (como quinta disminuida ). La propiedad estricta es lo mismo que la coherencia en el sentido de Balzano.
La clase de intervalo class (i) módulo Ω depende sólo de i módulo ℘, por lo tanto, también podemos definir una versión de clase, Class( i ), para clases de tono módulo Ω , que se llaman intervalos genéricos . Las clases de tono específicas que pertenecen a Class(i) se llaman entonces intervalos específicos . La clase del unísono , Class(0), consiste únicamente en múltiplos de Ω y normalmente se excluye de la consideración, de modo que el número de intervalos genéricos es ℘ − 1. Por lo tanto, los intervalos genéricos se numeran de 1 a ℘ − 1, y una escala es apropiada si para dos intervalos genéricos cualesquiera i < j implica class( i ) < class( j ). Si representamos los elementos de Class( i ) por intervalos reducidos a aquellos entre el unísono y Ω, podemos ordenarlos como de costumbre, y así definir la propiedad al afirmar que i < j para clases genéricas implica Class( i ) < Class( j ). Este procedimiento, aunque mucho más complicado que la definición originalmente formulada, es la forma en que normalmente se aborda el asunto en la teoría de conjuntos diatónicos .
Consideremos la escala diatónica (mayor) en el temperamento igual común de 12 tonos, que sigue el patrón (en semitonos) 2-2-1-2-2-2-1. Ningún intervalo en esta escala, que abarque cualquier número dado de pasos de escala, es más estrecho (que consta de menos semitonos) que un intervalo que abarque menos pasos de escala. Por ejemplo, no se puede encontrar una cuarta en esta escala que sea más pequeña que una tercera: las cuartas más pequeñas tienen cinco semitonos de ancho, y las terceras más grandes tienen cuatro semitonos. Por lo tanto, la escala diatónica es propia. Sin embargo, hay un intervalo que contiene el mismo número de semitonos que un intervalo que abarca menos grados de la escala: la cuarta aumentada (FGAB) y la quinta disminuida (BCDEF) tienen ambas seis semitonos de ancho. Por lo tanto, la escala diatónica es propia pero no estrictamente propia.
Por otra parte, consideremos la escala enigmática , que sigue el patrón 1-3-2-2-2-1-1. Es posible encontrar intervalos en esta escala que sean más estrechos que otros intervalos de la escala que abarcan menos pasos de la escala: por ejemplo, el cuarto construido sobre el sexto paso de la escala tiene tres semitonos de ancho, mientras que el tercero construido sobre el segundo paso de la escala tiene cinco semitonos de ancho. Por lo tanto, la escala enigmática no es adecuada.
Balzano introdujo la idea de intentar caracterizar la escala diatónica en términos de propiedad. No existen escalas de siete notas estrictamente adecuadas en el temperamento igual de 12 ; sin embargo, hay cinco escalas propias, una de las cuales es la escala diatónica. Aquí la transposición y los modos no se cuentan por separado, de modo que la escala diatónica abarca tanto la escala diatónica mayor como la escala menor natural que comienza con cualquier tono. Cada una de estas escalas, si se escribe correctamente, tiene una versión en cualquier afinación de medio tono , y cuando la quinta es más baja que 700 centésimas , todas se vuelven estrictamente adecuadas. En particular, cinco de las siete escalas de siete notas estrictamente adecuadas en el temperamento igual de 19 son una de estas escalas. Las cinco escalas son:
En cualquier sistema de tonos medios con quintas más bajas que 700 centésimas, también se tiene la siguiente escala estrictamente propia: CD ♭ EF ♭ GA ♭ B ♭ (que es la escala frigia dominante ♭ 4 ).
La escala diatónica, la menor ascendente, la menor armónica, la mayor armónica y esta última escala sin nombre contienen círculos completos de tres terceras mayores y cuatro menores, dispuestas de forma variada. La escala mayor locria tiene un círculo de cuatro terceras mayores y dos menores, junto con una tercera disminuida , que en el temperamento septimal de tono medio se aproxima a una segunda mayor septimal de proporción 8 ⁄ 7 . Las otras escalas son todas las escalas con un círculo completo de tres terceras mayores y cuatro menores, que como ( 5 ⁄ 4 ) 3 ( 6 ⁄ 5 ) 4 = 81 ⁄ 20 , templadas a dos octavas en tono medio, es indicativa de tono medio.
Las tres primeras escalas son de importancia básica para la práctica musical común , y la escala mayor armónica se usa a menudo, y el hecho de que la escala diatónica no se destaque por su propiedad es quizás menos interesante [ ¿según quién? ] que el hecho de que todas las escalas fundamentales de la práctica diatónica lo sean.