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Mapa apropiado

En matemáticas , una función entre espacios topológicos se denomina propia si las imágenes inversas de subconjuntos compactos son compactas. [1] En geometría algebraica , el concepto análogo se denomina morfismo propio .

Definición

Existen varias definiciones en competencia de una " función propia ". Algunos autores llaman propia a una función entre dos espacios topológicos si la preimagen de cada conjunto compacto en es compacta en Otros autores llaman propia a una función si es continua y cerrada con fibras compactas ; es decir, si es una función cerrada continua y la preimagen de cada punto en es compacta . Las dos definiciones son equivalentes si es localmente compacta y Hausdorff .

Si es Hausdorff y es Hausdorff localmente compacto entonces propio es equivalente a universalmente cerrado . Una función es universalmente cerrada si para cualquier espacio topológico la función es cerrada. En el caso de que sea Hausdorff, esto es equivalente a requerir que para cualquier función el pullback sea cerrado, como se sigue del hecho de que es un subespacio cerrado de

Una definición equivalente, posiblemente más intuitiva, cuando y son espacios métricos es la siguiente: decimos que una secuencia infinita de puntos en un espacio topológico escapa al infinito si, para cada conjunto compacto, solo hay un número finito de puntos en Entonces, una función continua es propia si y solo si para cada secuencia de puntos que escapa al infinito en la secuencia escapa al infinito en

Propiedades

Generalización

Es posible generalizar la noción de mapas propios de espacios topológicos a locales y topos , véase (Johnstone 2002).

Véase también

Citas

  1. ^ Lee 2012, pág. 610, supra Prop. A.53.
  2. ^ Palais, Richard S. (1970). "Cuando los mapas propios están cerrados". Actas de la American Mathematical Society . 24 (4): 835–836. doi : 10.1090/s0002-9939-1970-0254818-x . MR  0254818.

Referencias