Fórmula de cuadratura de Cavalieri

Término matemático en cálculo

La fórmula de cuadratura de Cavalieri calcula el área bajo la curva cúbica , junto con otras potencias superiores.

En cálculo , la fórmula de cuadratura de Cavalieri , llamada así por el matemático italiano del siglo XVII Bonaventura Cavalieri , es la integral

${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,a^{n+1}\qquad n\geq 0,}$

y generalizaciones de las mismas. Esta es la forma integral definida ; la forma integral indefinida es:

${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.}$

Existen otras formas adicionales, que se enumeran a continuación. Junto con la linealidad de la integral, esta fórmula permite calcular las integrales de todos los polinomios.

El término " cuadratura " es un término tradicional para designar el área ; la integral se interpreta geométricamente como el área bajo la curva y  =  x ⁿ . Casos tradicionalmente importantes son y  =  x ² , la cuadratura de la parábola , conocida en la antigüedad, e y  = 1/ x , la cuadratura de la hipérbola , cuyo valor es un logaritmo .

Formularios

Negativonorte

Para valores negativos de n (potencias negativas de x ), existe una singularidad en x  = 0, y por lo tanto la integral definida se basa en 1, en lugar de 0, lo que da como resultado:

${\displaystyle \int _{1}^{a}x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\qquad n\neq -1.}$

Además, para valores fraccionarios negativos (no enteros) de n, la potencia x ⁿ no está bien definida , por lo tanto, la integral indefinida solo está definida para x positiva. Sin embargo, para n, un entero negativo, la potencia x ⁿ está definida para todos los x distintos de cero , y las integrales indefinidas y definidas están definidas y se pueden calcular mediante un argumento de simetría, reemplazando x por − x y basando la integral definida negativa en −1.

Sobre los números complejos, la integral definida (para valores negativos de n y x ) se puede definir mediante integración de contorno , pero luego depende de la elección del camino, específicamente del número sinuoso : la cuestión geométrica es que la función define un espacio de cobertura con una singularidad en 0.

norte= −1

También existe el caso excepcional n  = −1, que produce un logaritmo en lugar de una potencia de  x:

${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln a,}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+C,\qquad x>0}$

(donde "ln" significa el logaritmo natural , es decir, el logaritmo en base e  = 2,71828...).

La integral impropia a menudo se extiende a valores negativos de x mediante la opción convencional:

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C,\qquad x\neq 0.}$

Obsérvese el uso del valor absoluto en la integral indefinida; esto es para proporcionar una forma unificada para la integral y significa que la integral de esta función impar es una función par, aunque el logaritmo solo está definido para entradas positivas y, de hecho, se pueden elegir diferentes valores constantes de C en ambos lados de 0, ya que estos no cambian la derivada. La forma más general es, por lo tanto: ^[1]

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx={\begin{cases}\ln |x|+C^{-}&x<0\\\ln |x|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$

Sobre los números complejos no existe una antiderivada global para 1/ x , debido a que esta función define un espacio de cobertura no trivial ; esta forma es especial para los números reales.

Nótese que la integral definida que comienza en 1 no está definida para valores negativos de a, ya que pasa por una singularidad, aunque como 1/ x es una función impar , se puede basar la integral definida para potencias negativas en −1. Si uno está dispuesto a usar integrales impropias y calcular el valor principal de Cauchy , se obtiene que también se puede argumentar por simetría (ya que el logaritmo es impar), por lo que no hay diferencia si la integral definida se basa en 1 o −1. Al igual que con la integral indefinida, esto es especial para los números reales y no se extiende a los números complejos. ${\displaystyle \int _{-c}^{c}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}$ ${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}$

Formas alternativas

La integral también puede escribirse con índices desplazados, lo que simplifica el resultado y hace más clara la relación con la diferenciación n -dimensional y el n -cubo:

${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}\qquad n\geq 1.}$

${\displaystyle \int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}+C\qquad n\neq 0.}$

De manera más general, estas fórmulas pueden expresarse como:

${\displaystyle \int (ax+b)^{n}dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}dx={\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}$

De manera más general:

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{-}&x<-b/a\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{+}&x>-b/a\end{cases}}}$

Prueba

La prueba moderna consiste en utilizar una antiderivada: se demuestra que la derivada de x ⁿ es nx ^{n −1} – para números enteros no negativos. Esto se demuestra a partir de la fórmula binomial y la definición de la derivada – y por lo tanto, por el teorema fundamental del cálculo la antiderivada es la integral. Este método falla para ya que la antiderivada candidata es , que no está definida debido a la división por cero. La función logaritmo , que es la antiderivada real de 1/ x , debe introducirse y examinarse por separado. ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx,}$ ${\displaystyle {\frac {1}{0}}\cdot x^{0}}$

La derivada se puede geometrizar como el cambio infinitesimal en el volumen del n -cubo, que es el área de n caras, cada una de dimensión n  − 1. Integrando esta imagen –apilando las caras– se geometriza el teorema fundamental del cálculo, produciendo una descomposición del n -cubo en n pirámides, que es una prueba geométrica de la fórmula de cuadratura de Cavalieri. ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}$

Para los números enteros positivos, esta prueba puede geometrizarse: ^[2] si se considera la cantidad x ⁿ como el volumen del n -cubo (el hipercubo en n dimensiones), entonces la derivada es el cambio en el volumen a medida que cambia la longitud del lado – esto es x ^{n −1} , que puede interpretarse como el área de n caras, cada una de dimensión n  − 1 (fijando un vértice en el origen, estas son las n caras que no tocan el vértice), correspondiente al cubo que aumenta de tamaño al crecer en la dirección de estas caras – en el caso tridimensional, añadiendo 3 cuadrados infinitesimalmente delgados, uno en cada una de estas caras. Por el contrario, geometrizando el teorema fundamental del cálculo, apilando estos cubos infinitesimales ( n  − 1) se obtiene una (hiper)-pirámide, y n de estas pirámides forman el n -cubo, que produce la fórmula. Además, existe una simetría cíclica n -fold del n -cubo alrededor de la diagonal que cicla estas pirámides (para las cuales una pirámide es un dominio fundamental ). En el caso del cubo (3-cubo), así es como se estableció originalmente de manera rigurosa el volumen de una pirámide: el cubo tiene simetría 3-fold, con dominio fundamental a pirámides, dividiendo el cubo en 3 pirámides, lo que corresponde al hecho de que el volumen de una pirámide es un tercio de la base por la altura. Esto ilustra geométricamente la equivalencia entre la cuadratura de la parábola y el volumen de una pirámide, que se calcularon clásicamente por medios diferentes.

Existen pruebas alternativas: por ejemplo, Fermat calculó el área mediante un truco algebraico de dividir el dominio en ciertos intervalos de longitud desigual; ^[3] alternativamente, uno puede probar esto reconociendo una simetría del gráfico y  =  x ⁿ bajo dilatación no homogénea (por d en la dirección x y d ⁿ en la dirección y , algebraizando las n dimensiones de la dirección y ), ^[4] o derivando la fórmula para todos los valores enteros expandiendo el resultado para n  = −1 y comparando coeficientes. ^[5]

Historia

Arquímedes calculó el área de los segmentos parabólicos en su Cuadratura de la parábola .

Se ofrece una discusión detallada de la historia, con fuentes originales, en (Laubenbacher y Pengelley 1998, Capítulo 3, Análisis: Cálculo de áreas y volúmenes); véase también historia del cálculo e historia de la integración .

El caso de la parábola fue demostrado en la antigüedad por el matemático griego Arquímedes en su obra Cuadratura de la parábola (siglo III a. C.), mediante el método de exhaución . Cabe destacar que Arquímedes calculó el área dentro de una parábola –un llamado "segmento parabólico"– en lugar del área bajo el gráfico y  =  x ² , que es en cambio la perspectiva de la geometría cartesiana . Estos son cálculos equivalentes, pero reflejan una diferencia de perspectiva. Los antiguos griegos, entre otros, también calcularon el volumen de una pirámide o un cono , que es matemáticamente equivalente.

En el siglo XI, el matemático islámico Ibn al-Haytham (conocido como Alhazen en Europa) calculó las integrales de las cúbicas y cuárticas (grados tres y cuatro) mediante inducción matemática , en su Libro de Óptica . ^[6]

El caso de los números enteros superiores fue calculado por Cavalieri para n hasta 9, utilizando su método de indivisibles ( principio de Cavalieri ). ^[7] Él interpretó estos como integrales superiores como el cálculo de volúmenes de dimensiones superiores, aunque sólo de manera informal, ya que los objetos de dimensiones superiores aún no eran familiares. ^[8] Este método de cuadratura fue luego extendido por el matemático italiano Evangelista Torricelli a otras curvas como la cicloide , luego la fórmula fue generalizada a potencias fraccionarias y negativas por el matemático inglés John Wallis , en su Arithmetica Infinitorum (1656), que también estandarizó la noción y notación de potencias racionales -aunque Wallis interpretó incorrectamente el caso excepcional n  = −1 (cuadratura de la hipérbola)- antes de finalmente ser puesta en terreno riguroso con el desarrollo del cálculo integral .

Antes de la formalización de Wallis de las potencias fraccionarias y negativas, que permitían funciones explícitas , estas curvas se manejaban implícitamente, a través de las ecuaciones y ( p y q siempre son números enteros positivos) y se las denominaba respectivamente parábolas superiores e hipérbolas superiores (o "parábolas superiores" e "hipérbolas superiores"). Pierre de Fermat también calculó estas áreas (excepto en el caso excepcional de −1) mediante un truco algebraico: calculó la cuadratura de las hipérbolas superiores dividiendo la línea en intervalos iguales, y luego calculó la cuadratura de las parábolas superiores utilizando una división en intervalos desiguales , presumiblemente invirtiendo las divisiones que utilizó para las hipérbolas. ^[9] Sin embargo, como en el resto de su trabajo, las técnicas de Fermat eran más trucos ad hoc que tratamientos sistemáticos, y no se considera que haya desempeñado un papel significativo en el desarrollo posterior del cálculo. ${\displaystyle y=x^{p/q},}$ ${\displaystyle x^{p}=ky^{q}}$ ${\displaystyle x^{p}y^{q}=k}$

Es de destacar que Cavalieri sólo comparó áreas con áreas y volúmenes con volúmenes – estos siempre tienen dimensiones, mientras que la noción de considerar un área como compuesta de unidades de área (en relación con una unidad estándar), y por lo tanto sin unidades, parece haberse originado con Wallis; ^{[10] [11]} Wallis estudió potencias fraccionarias y negativas, y la alternativa a tratar los valores calculados como números sin unidades era interpretar dimensiones fraccionarias y negativas.

El caso excepcional de −1 (la hipérbola estándar) fue tratado con éxito por primera vez por Grégoire de Saint-Vincent en su Opus Geometricum quadrature circuli et sectionum coni (1647), aunque un tratamiento formal tuvo que esperar hasta el desarrollo del logaritmo natural , que fue logrado por Nicholas Mercator en su Logarithmotechnia (1668).

Referencias

1. "Encuesta de lectores: log|x| + C", Tom Leinster, The n- category Café , 19 de marzo de 2012
2. (Barth 2004), (Carter y Champanerkar 2006)
3. Ver Rickey.
4. (Wildberger 2002)
5. (Bradley 2003)
6. Victor J. Katz (1995), "Ideas de cálculo en el Islam y la India", Mathematics Magazine 68 (3): 163–174 [165–9 y 173–4]
7. (Struik 1986, págs. 215-216)
8. (Laubenbacher y Pengelley 1998) – ver Sinopsis pedagógica informal del capítulo de Análisis Archivado el 26 de agosto de 2018 en Wayback Machine para una versión breve
9. Véase la referencia de Rickey para discusión y referencias adicionales.
10. Pelota, 281
11. Enciclopedia Británica, 171

Historia

• Caballeros (1635). Geometria indivisibilibus (continuorum nova quadam ratione promota [ La geometría, expuesta de una manera nueva con la ayuda de los indivisibles del continuo ].
• Caballeros (1647). Exercitationes Geometriae Sex [ Seis ejercicios geométricos ].
  • en Struik, Dirk Jan , ed. (1986). Un libro de consulta sobre matemáticas, 1200-1800 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08404-1, Libro de  bolsillo .
• Laubenbacher, Reinhard; Pengelley, David (1998). "Sección 3.4: "Cavalieri calcula áreas de parábolas superiores"". Expediciones matemáticas: crónicas de los exploradores. págs. 123–127/128.
• Walter William Rouse Ball. "Cavalieri". Breve relato de la historia de las matemáticas. Págs. 278-281.
• Guía de análisis y cálculo de Britannica. Britannica educativa. pág. 171– habla principalmente de Wallace

Pruebas

• Wildberger, NJ (2002). "Una nueva prueba de la fórmula de cuadratura de Cavalieri". The American Mathematical Monthly . 109 (9): 843–845. doi :10.2307/3072373. JSTOR  3072373.
• Bradley, David M. (mayo de 2003). "Observación sobre la fórmula de cuadratura de Cavalieri". The American Mathematical Monthly . 110 (5): 437. arXiv : math/0505059 . Código Bibliográfico :2005math......5059B.Aparece impreso al final de:
  • Sondow, Jonathan (mayo de 2003). "Ceros de la función zeta alternada en la línea R(S) = 1". The American Mathematical Monthly . 110 (5): 435–437. JSTOR  3647831.
• Barth, NR (2004). "Cálculo de la fórmula de cuadratura de Cavalieri mediante una simetría del n-cubo". The American Mathematical Monthly . 111 (9): 811–813. doi :10.2307/4145193. JSTOR  4145193.
• Carter, J. Scott; Champanerkar, Abhijit (2006). "Un método geométrico para calcular algunas integrales elementales". arXiv : math/0608722 .
• Malik, MA (1984) "Una nota sobre la integración de Cavalieri", Mathematics Magazine 57(3): 154–6 doi :10.2307/2689662
• V. Frederick Rickey (2011) "La integración de potencias de Fermat", en Notas históricas para profesores de cálculo

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Fórmula de cuadratura de Cavalieri". MundoMatemático .
• Integración de Cavalieri
• Cálculo infinitesimal, Enciclopedia de Matemáticas