En la rama de las matemáticas abstractas llamada teoría de categorías , una cobertura proyectiva de un objeto X es , en cierto sentido, la mejor aproximación de X mediante un objeto proyectivo P. Las cubiertas proyectivas son el doble de las envolturas inyectivas .
Sea una categoría y X un objeto en . Una cubierta proyectiva es un par ( P , p ), siendo P un objeto proyectivo en y p un epimorfismo superfluo en Hom( P , X ).
Si R es un anillo, entonces en la categoría de R -módulos, un epimorfismo superfluo es entonces un epimorfismo tal que el núcleo de p es un submódulo superfluo de P.
Las coberturas proyectivas y sus epimorfismos superfluos, cuando existen, son únicos hasta el isomorfismo . Sin embargo, el isomorfismo no tiene por qué ser único, ya que la propiedad proyectiva no es una propiedad universal en toda regla .
El efecto principal de que p tenga un núcleo superfluo es el siguiente: si N es cualquier submódulo propio de P , entonces . [1] Hablando informalmente, esto muestra que el núcleo superfluo hace que P cubra M de manera óptima, es decir, ningún submódulo de P sería suficiente. Esto no depende de la proyectividad de P : es cierto para todos los epimorfismos superfluos.
Si ( P , p ) es una cubierta proyectiva de M , y P' es otro módulo proyectivo con un epimorfismo , entonces hay un epimorfismo dividido α de P' a P tal que
A diferencia de las envolventes inyectivas y las cubiertas planas , que existen para cada módulo R izquierdo (derecho) independientemente del anillo R , los módulos R izquierdo (derecho) en general no tienen cubiertas proyectivas. Un anillo R se llama perfecto izquierdo (derecho) si cada módulo R izquierdo (derecho) tiene una cubierta proyectiva en R -Mod (Mod- R ).
Un anillo se llama semiperfecto si cada módulo R izquierdo (derecho) generado finitamente tiene una cubierta proyectiva en R -Mod (Mod- R ). "Semiperfecto" es una propiedad simétrica de izquierda a derecha.
Un anillo se llama sustentación/rad si los idempotentes se elevan de R / J a R , donde J es el radical de Jacobson de R . La propiedad de ser elevación/rad se puede caracterizar en términos de cubiertas proyectivas: R es elevación/rad si y sólo si los sumandos directos del módulo R R / J (como módulo derecho o izquierdo) tienen cubiertas proyectivas. [2]
En la categoría de módulos R :