Proceso de Hawkes

En teoría de probabilidad y estadística, un proceso de Hawkes , llamado así por Alan G. Hawkes, es un tipo de proceso puntual autoexcitado . ^[1] Tiene llegadas en momentos en los que la probabilidad infinitesimal de una llegada durante el intervalo de tiempo es ${\textstyle 0<t_{1}<t_{2}<t_{3}<\cdots }$ ${\textstyle [t,t+dt)}$

\lambda _{t}\,dt=\left(\mu (t)+\sum _{t_{i}\,:\,t_{i}\,<\,t}\phi (t-t_{i})\right)\,dt.

La función es la intensidad de un proceso de Poisson subyacente . La primera llegada ocurre en el tiempo e inmediatamente después, la intensidad se convierte en , y en el momento de la segunda llegada, la intensidad salta a y así sucesivamente. ^[2] ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle t_{1}}$ ${\textstyle \mu (t)+\phi (t-t_{1})}$ ${\textstyle t_{2}}$ ${\textstyle \mu (t)+\phi (t-t_{1})+\phi (t-t_{2})}$

Durante el intervalo de tiempo , el proceso es la suma de procesos independientes con intensidades Las llegadas en el proceso cuya intensidad es son las "hijas" de la llegada en el tiempo La integral es el número promedio de hijas de cada llegada y se llama razón de ramificación . Por lo tanto, al considerar algunas llegadas como descendientes de llegadas anteriores, tenemos un proceso de ramificación de Galton-Watson . El número de tales descendientes es finito con probabilidad 1 si la razón de ramificación es 1 o menor. Si la razón de ramificación es mayor que 1, entonces cada llegada tiene probabilidad positiva de tener infinitos descendientes. ${\textstyle (t_{k},t_{k+1})}$ ${\textstyle k+1}$ ${\textstyle \mu (t),\phi (t-t_{1}),\ldots ,\phi (t-t_{k}).}$ ${\textstyle \phi (t-t_{k})}$ ${\textstyle t_{k}.}$ $\int _{0}^{\infty }\phi (t)\,dt$

Aplicaciones

Los procesos de Hawkes se utilizan para el modelado estadístico de eventos en finanzas matemáticas , ^[3] epidemiología , ^[4]sismología de terremotos , ^[5] y otros campos en los que un evento aleatorio exhibe un comportamiento autoexcitado. ^[6]^[7]

Véase también

Referencias

^ Laub, Patrick J.; Lee, Young; Taimre, Thomas (2021). Los elementos de los procesos de Hawkes. doi :10.1007/978-3-030-84639-8. ISBN 978-3-030-84638-1. Número de identificación del sujeto 245682002.
^ Hawkes, Alan G. (1971). "Espectros de algunos procesos puntuales autoexcitados y mutuamente excitados". Biometrika . 58 (1): 83–90. doi :10.1093/biomet/58.1.83. ISSN 0006-3444.
^ Hawkes, Alan G. (2018). "Procesos de Hawkes y sus aplicaciones a las finanzas: una revisión". Finanzas cuantitativas . 18 (2): 193–198. doi :10.1080/14697688.2017.1403131. ISSN 1469-7688. S2CID 158619662.
^ Rizoiu, Marian-Andrei; Mishra, Swapnil; Kong, Quyu; Carman, Mark; Xie, Lexing (2018). "SIR-Hawkes: vinculación de modelos epidémicos y procesos de Hawkes para modelar difusiones en poblaciones finitas". Actas de la Conferencia Mundial sobre la Web de 2018 sobre la World Wide Web - WWW '18 . págs. 419–428. arXiv : 1711.01679 . doi :10.1145/3178876.3186108. S2CID 195346881.
^ Kwon, Junhyeon; Zheng, Yingcai; Jun, Mikyoung (2023). "Modelos de procesos de Hawkes espacio-temporales flexibles para ocurrencias de terremotos". Estadística espacial . 54 : 100728. arXiv : 2210.08053 . Código Bibliográfico :2023SpaSt..5400728K. doi :10.1016/j.spasta.2023.100728. S2CID 252917746.
^ Tench, Stephen; Fry, Hannah; Gill, Paul (2016). "Patrones espacio-temporales del uso de IED por parte del Ejército Republicano Irlandés Provisional". Revista Europea de Matemáticas Aplicadas . 27 (3): 377–402. doi :10.1017/S0956792515000686. ISSN 0956-7925. S2CID 53692006.
^ Laub, Patrick J.; Taimré, Thomas; Pollett, Philip K. (2015). "Procesos de Hawkes". arXiv : 1507.02822 [matemáticas.PR].

Lectura adicional

Bacry, Emmanuel; Mastromatteo, Iacopo; Muzy, Jean-François (2015). "Procesos de Hawkes en finanzas". arXiv : 1502.04592 [q-fin.TR].
Rizoiu, Marian-Andrei; Lee, Young; Mishra, Swapnil; Xie, Lexing (2017). "Un tutorial sobre los procesos de Hawkes para eventos en las redes sociales". arXiv : 1708.06401 [stat.ML].