Proceso McKean-Vlasov

Proceso de difusión estocástica en la teoría de la probabilidad

En teoría de probabilidad , un proceso McKean-Vlasov es un proceso estocástico descrito por una ecuación diferencial estocástica donde los coeficientes de la difusión dependen de la distribución de la solución misma. ^{[1] [2]} Las ecuaciones son un modelo para la ecuación de Vlasov y fueron estudiadas por primera vez por Henry McKean en 1966. ^[3] Es un ejemplo de propagación del caos , ya que se puede obtener como un límite de un sistema de campo medio de partículas interactuantes: como el número de partículas tiende a infinito, las interacciones entre cualquier partícula individual y el resto del conjunto solo dependerán de la partícula misma. ^[4]

Definición

Consideremos una función medible donde es el espacio de distribuciones de probabilidad en equipado con la métrica de Wasserstein y es el espacio de matrices cuadradas de dimensión . Consideremos una función medible . Defina . ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{d}\times {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{d})\to {\mathcal {M}}_{d}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle W_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{d}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle b:\mathbb {R} ^{d}\times {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle a(x,\mu ):=\sigma (x,\mu )\sigma (x,\mu )^{T}}$

Un proceso estocástico es un proceso McKean-Vlasov si resuelve el siguiente sistema: ^{[3] [5]} ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$

• ${\displaystyle X_{0}}$tiene ley ${\displaystyle f_{0}}$
• ${\displaystyle dX_{t}=\sigma (X_{t},\mu _{t})dB_{t}+b(X_{t},\mu _{t})dt}$

donde describe la ley de y denota un proceso de Wiener en una dimensión . Este proceso no es lineal, en el sentido de que la ecuación de Fokker-Planck asociada para es una ecuación diferencial parcial no lineal . ^{[5] [6]} ${\displaystyle \mu _{t}={\mathcal {L}}(X_{t})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{t}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mu _{t}}$

Existencia de una solución

El siguiente teorema se puede encontrar en ^{[4] .}

Existencia de una solución  —  Supongamos que y son globalmente Lipschitz , es decir, existe una constante tal que: ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle |b(x,\mu )-b(y,\nu )|+|\sigma (x,\mu )-\sigma (y,\nu )|\leq C(|x-y|+W_{2}(\mu ,\nu ))}$

¿Dónde está la métrica de Wasserstein ? ${\displaystyle W_{2}}$

Supongamos que tiene varianza finita. ${\displaystyle f_{0}}$

Entonces, para cualquier hay una solución fuerte única para el sistema de ecuaciones de McKean-Vlasov en . Además, su ley es la solución única para la ecuación no lineal de Fokker-Planck : ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle [0,T]}$

${\displaystyle \partial _{t}\mu _{t}(x)=-\nabla \cdot \{b(x,\mu _{t})\mu _{t}\}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{d}\partial _{x_{i}}\partial _{x_{j}}\{a_{ij}(x,\mu _{t})\mu _{t}\}}$

Propagación del caos

El proceso McKean-Vlasov es un ejemplo de propagación del caos . ^[4] Lo que esto significa es que muchos procesos McKean-Vlasov pueden obtenerse como el límite de sistemas discretos de ecuaciones diferenciales estocásticas . ${\displaystyle (X_{t}^{i})_{1\leq i\leq N}}$

Formalmente, definimos como las soluciones -dimensionales de: ${\displaystyle (X^{i})_{1\leq i\leq N}}$ ${\displaystyle d}$

• ${\displaystyle (X_{0}^{i})_{1\leq i\leq N}}$son iid con la ley ${\displaystyle f_{0}}$
• ${\displaystyle dX_{t}^{i}=\sigma (X_{t}^{i},\mu _{X_{t}})dB_{t}^{i}+b(X_{t}^{i},\mu _{X_{t}})dt}$

donde son el movimiento browniano iid , y es la medida empírica asociada con definida por donde es la medida de Dirac . ${\displaystyle (B^{i})_{1\leq i\leq N}}$ ${\displaystyle \mu _{X_{t}}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \mu _{X_{t}}:={\frac {1}{N}}\sum \limits _{1\leq i\leq N}\delta _{X_{t}^{i}}}$ ${\displaystyle \delta }$

La propagación del caos es la propiedad de que, a medida que aumenta el número de partículas , la interacción entre dos partículas cualesquiera se desvanece y la medida empírica aleatoria es reemplazada por la distribución determinista . ${\displaystyle N\to +\infty }$ ${\displaystyle \mu _{X_{t}}}$ ${\displaystyle \mu _{t}}$

Bajo ciertas condiciones de regularidad, ^[4] el proceso de campo medio recién definido convergerá al proceso McKean-Vlasov correspondiente.

Aplicaciones

• Teoría del campo medio
• Teoría de juegos de campo medio ^[5]
• Matrices aleatorias : incluido el modelo de Dyson sobre dinámica de valores propios para matrices simétricas aleatorias y la distribución de semicírculo de Wigner ^[6]

Referencias

1. Des Combes, Rémi Tachet (2011). Calibración de modelos no paramétricos en finanzas: Calibration non paramétrique de modèles en Finance (PDF) (Tesis doctoral). Archivado desde el original (PDF) el 11 de mayo de 2012.
2. Funaki, T. (1984). "Cierta clase de procesos de difusión asociados con ecuaciones parabólicas no lineales". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 67 (3): 331–348. doi : 10.1007/BF00535008 . S2CID  121117634.
3. McKean, HP (1966). "Una clase de procesos de Markov asociados con ecuaciones parabólicas no lineales". Proc. Natl. Sci. USA . 56 (6): 1907–1911. Bibcode :1966PNAS...56.1907M. doi : 10.1073/pnas.56.6.1907 . PMC 220210 . PMID  16591437. 
4. Chaintron, Louis-Pierre; Diez, Antoine (2022). "Propagación del caos: una revisión de modelos, métodos y aplicaciones. I. Modelos y métodos". Modelos cinéticos y relacionados . 15 (6): 895. arXiv : 2203.00446 . doi :10.3934/krm.2022017. ISSN  1937-5093.
5. Carmona, Rene; Delarue, Francois; Lachapelle, Aime. "Control de la dinámica McKean-Vlasov frente a juegos de campo medio" (PDF) . Universidad de Princeton .
6. Chan, Terence (enero de 1994). "Dinámica de la ecuación de McKean-Vlasov". Anales de probabilidad . 22 (1): 431–441. doi : 10.1214/aop/1176988866 . ISSN  0091-1798.