Proceso de punto determinante

En matemáticas , un proceso puntual determinante es un proceso puntual estocástico , cuya distribución de probabilidad se caracteriza como determinante de alguna función. Estos procesos surgen como herramientas importantes en la teoría de matrices aleatorias , la combinatoria , la física ^[1] y el modelado de redes inalámbricas. ^{[2] [3] [4]}

Definición

Sea un espacio polaco localmente compacto y una medida de radón en . Considere también una función medible . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle K:\Lambda ^{2}\to \mathbb {C} }$

Decimos que es un proceso puntual determinante con núcleo si es un proceso puntual simple con una intensidad conjunta o función de correlación (que es la densidad de su medida de momento factorial ) dada por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \rho _{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\det[K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}}$

para cada n ≥ 1 y x ₁ , ..., x _n ∈ Λ. ^[5]

Propiedades

Existencia

Las siguientes dos condiciones son necesarias y suficientes para la existencia de un proceso puntual aleatorio determinante con intensidades ρ _k .

• Simetría: ρ _k es invariante bajo la acción del grupo simétrico S _k . De este modo:
  $${\displaystyle \rho _{k}(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\quad \forall \sigma \in S_{k},k}$$
• Positividad: Para cualquier N y cualquier colección de funciones acotadas y mensurables , k = 1, ..., N con soporte compacto : ${\displaystyle \varphi _{k}:\Lambda ^{k}\to \mathbb {R} }$
  Si
  $${\displaystyle \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{i_{1}\neq \cdots \neq i_{k}}\varphi _{k}(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{k}})\geq 0{\text{ for all }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}}$$
  Entonces ^[6]
  $${\displaystyle \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\int _{\Lambda ^{k}}\varphi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\geq 0{\text{ for all }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}}$$

Unicidad

Una condición suficiente para la unicidad de un proceso aleatorio determinante con intensidades conjuntas ρ _k es

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k!}}\int _{A^{k}}\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\right)^{-{\frac {1}{k}}}=\infty }$$

A ⊆ Λ. ^[6]

Ejemplos

Conjunto unitario gaussiano

Los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria m  ×  m extraída del conjunto unitario gaussiano (GUE) forman un proceso puntual determinante con kernel ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle K_{m}(x,y)=\sum _{k=0}^{m-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y)}$

¿Dónde está la función de onda del oscilador definida por ${\displaystyle \psi _{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \psi _{k}(x)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {2n}}n!}}}H_{k}(x)e^{-x^{2}/4}}$$

y es el polinomio de Hermite . ^[7] ${\displaystyle H_{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$

Medida de Plancherel envenenada

La medida de Plancherel envenenada en la partición de números enteros (y por lo tanto en los diagramas de Young ) juega un papel importante en el estudio de la subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria. El proceso puntual correspondiente a un diagrama de Young aleatorio, expresado en coordenadas de Frobenius modificadas, es un proceso puntual determinante en + 1 ⁄ 2 con el núcleo de Bessel discreto, dado por: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle K(x,y)={\begin{cases}{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{+}(|x|,|y|)}{|x|-|y|}}&{\text{if }}xy>0,\\[12pt]{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{-}(|x|,|y|)}{x-y}}&{\text{if }}xy<0,\end{cases}}}$$

$${\displaystyle k_{+}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})-J_{x+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }}),}$$

$${\displaystyle k_{-}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})+J_{x+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})}$$

Jfunción de Bessel^[8]

Esto sirve como ejemplo de un proceso de punto determinante bien definido con núcleo no hermitiano (aunque su restricción a los semiejes positivo y negativo es hermitiana). ^[6]

Árboles de expansión uniformes

Sea G un grafo finito, no dirigido y conexo , con aristas fijadas E. Defina I ^e : E  →  ℓ ² (E) de la siguiente manera: primero elija un conjunto arbitrario de orientaciones para los bordes E, y para cada borde orientado resultante e , defina I ^e como la proyección de un flujo unitario a lo largo de e sobre el subespacio de ℓ ² (E) atravesado por flujos de estrellas. ^{[9] Entonces el} árbol de expansión uniformemente aleatorio de G es un proceso puntual determinante en E , con núcleo

${\displaystyle K(e,f)=\langle I^{e},I^{f}\rangle ,\quad e,f\in E}$. ^[5]

Referencias

1. Vershik, Anatoly M. (2003). Combinatoria asintótica con aplicaciones a la física matemática, una escuela europea de verano en matemáticas celebrada en el Instituto Euler, San Petersburgo, Rusia, del 9 al 20 de julio de 2001 . Berlín [etc.]: Springer. pag. 151.ISBN​ 978-3-540-44890-7.
2. Miyoshi, Naoto; Shirai, Tomoyuki (2016). "Un modelo de red celular con estaciones base configuradas por Ginibre". Avances en probabilidad aplicada . 46 (3): 832–845. doi : 10.1239/aap/1409319562 . ISSN  0001-8678.
3. Torrisi, Giovanni Luca; Leonardo, Emilio (2014). «Grandes Desviaciones de la Interferencia en el Modelo de Red Ginibre» (PDF) . Sistemas estocásticos . 4 (1): 173–205. doi : 10.1287/13-SSY109 . ISSN  1946-5238.
4. N. Deng, W. Zhou y M. Haenggi. El proceso de puntos de Ginibre como modelo para redes inalámbricas con repulsión. Transacciones IEEE sobre comunicaciones inalámbricas , vol. 14, págs. 107-121, enero de 2015.
5. Hough, JB, Krishnapur, M., Peres, Y. y Virág, B., Ceros de funciones analíticas gaussianas y procesos de puntos determinantes. Serie de conferencias universitarias, 51. Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Providence, RI, 2009.
6. A. Soshnikov, Campos de puntos aleatorios determinantes. Matemáticas rusas. Encuestas , 2000, 55 (5), 923–975.
7. B. Valko. Matrices aleatorias, conferencias 14-15. Apuntes de conferencias del curso, Universidad de Wisconsin-Madison.
8. A. Borodin, A. Okounkov y G. Olshanski, Sobre asintóticas de medidas de Plancherel para grupos simétricos, disponible a través de arXiv :math/9905032.
9. Lyons, R. con Peres, Y., Probabilidad en árboles y redes. Cambridge University Press, en preparación. Versión actual disponible en http://mypage.iu.edu/~rdlyons/