Proceso de puntos determinantes

En matemáticas , un proceso puntual determinante es un proceso puntual estocástico , cuya distribución de probabilidad se caracteriza como determinante de alguna función. Dichos procesos surgen como herramientas importantes en la teoría de matrices aleatorias , la combinatoria , la física , ^[1] el aprendizaje automático , ^[2] y el modelado de redes inalámbricas. ^{[3] [4] [5]}

Definición

Sea un espacio polaco localmente compacto y una medida de Radon en . Además, considere una función medible . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle K:\Lambda ^{2}\to \mathbb {C} }$

Decimos que es un proceso puntual determinante con núcleo si es un proceso puntual simple con una intensidad conjunta o función de correlación (que es la densidad de su medida de momento factorial ) dada por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \rho _{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\det[K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}}$

para cada n ≥ 1 y x ₁ , ..., x _n ∈ Λ. ^[6]

Propiedades

Existencia

Las dos condiciones siguientes son necesarias y suficientes para la existencia de un proceso puntual aleatorio determinante con intensidades ρ _k .

• Simetría: ρ _k es invariante bajo la acción del grupo simétrico S _k . Por lo tanto: $${\displaystyle \rho _{k}(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\quad \forall \sigma \in S_{k},k}$$
• Positividad: Para cualquier N , y cualquier colección de funciones mensurables y acotadas , k = 1, ..., N con soporte compacto : ${\displaystyle \varphi _{k}:\Lambda ^{k}\to \mathbb {R} }$
  Si Entonces ^[7] $${\displaystyle \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{i_{1}\neq \cdots \neq i_{k}}\varphi _{k}(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{k}})\geq 0{\text{ for all }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}}$$ $${\displaystyle \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\int _{\Lambda ^{k}}\varphi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\geq 0{\text{ for all }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}}$$

Unicidad

Una condición suficiente para la unicidad de un proceso aleatorio determinante con intensidades conjuntas ρ _k es para cada Borel acotado A ⊆ Λ. ^[7] $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k!}}\int _{A^{k}}\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\right)^{-{\frac {1}{k}}}=\infty }$$

Ejemplos

Conjunto unitario gaussiano

Los valores propios de una matriz hermítica aleatoria m  ×  m extraída del conjunto unitario gaussiano (GUE) forman un proceso puntual determinante con núcleo ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle K_{m}(x,y)=\sum _{k=0}^{m-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y)}$

¿Dónde está la función de onda del oscilador definida por? ${\displaystyle \psi _{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \psi _{k}(x)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {2n}}n!}}}H_{k}(x)e^{-x^{2}/4}}$$

y es el polinomio de Hermite . ^[8] ${\displaystyle H_{k}(x)}$ ${\displaystyle k}$

Medida de Plancherel Poissonizada

La medida de Plancherel poissonizada en la partición entera (y por lo tanto en los diagramas de Young ) desempeña un papel importante en el estudio de la subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria. El proceso puntual correspondiente a un diagrama de Young aleatorio, expresado en coordenadas de Frobenius modificadas, es un proceso puntual determinante en + 1 ⁄ 2 con el núcleo de Bessel discreto, dado por: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle K(x,y)={\begin{cases}{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{+}(|x|,|y|)}{|x|-|y|}}&{\text{if }}xy>0,\\[12pt]{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{-}(|x|,|y|)}{x-y}}&{\text{if }}xy<0,\end{cases}}}$$donde para J la función de Bessel de primer tipo, y θ la media utilizada en la poissonización. ^[9] $${\displaystyle k_{+}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})-J_{x+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }}),}$$ $${\displaystyle k_{-}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})+J_{x+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})}$$

Esto sirve como ejemplo de un proceso puntual determinante bien definido con núcleo no hermítico (aunque su restricción al semieje positivo y negativo es hermítico). ^[7]

Árboles de expansión uniformes

Sea G un grafo finito, no dirigido y conexo , con un conjunto de aristas E. Defina I ^e : E  →  ℓ ² (E) de la siguiente manera: primero elija un conjunto arbitrario de orientaciones para las aristas E, y para cada arista resultante orientada e , defina I ^e como la proyección de un flujo unitario a lo largo de e sobre el subespacio de ℓ ² (E) abarcado por flujos en estrella. ^{[10] Entonces, el} árbol de expansión uniformemente aleatorio de G es un proceso puntual determinante en E , con núcleo

${\displaystyle K(e,f)=\langle I^{e},I^{f}\rangle ,\quad e,f\in E}$. ^[6]

Referencias

1. Vershik, Anatoly M. (2003). Combinatoria asintótica con aplicaciones a la física matemática. Escuela de verano matemática europea celebrada en el Instituto Euler, San Petersburgo, Rusia, del 9 al 20 de julio de 2001. Berlín [etc.]: Springer. p. 151. ISBN 978-3-540-44890-7.
2. Kulesza, Alex; Taskar, Ben (2012). "Procesos de puntos determinantes para el aprendizaje automático". Fundamentos y tendencias en aprendizaje automático . 5 (2–3): 123–286. arXiv : 1207.6083 . doi :10.1561/2200000044.
3. Miyoshi, Naoto; Shirai, Tomoyuki (2016). "Un modelo de red celular con estaciones base configuradas con Ginibre". Avances en probabilidad aplicada . 46 (3): 832–845. doi : 10.1239/aap/1409319562 . ISSN  0001-8678.
4. Torrisi, Giovanni Luca; Leonardi, Emilio (2014). "Grandes desviaciones de la interferencia en el modelo de red de Ginibre" (PDF) . Sistemas estocásticos . 4 (1): 173–205. doi : 10.1287/13-SSY109 . ISSN  1946-5238.
5. N. Deng, W. Zhou y M. Haenggi. El proceso puntual de Ginibre como modelo para redes inalámbricas con repulsión. IEEE Transactions on Wireless Communications , vol. 14, págs. 107-121, enero de 2015.
6. Hough, JB, Krishnapur, M., Peres, Y. y Virág, B., Ceros de funciones analíticas gaussianas y procesos puntuales determinantes. Serie de conferencias universitarias, 51. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009.
7. A. Soshnikov, Campos de puntos aleatorios determinantes. Russian Math. Surveys , 2000, 55 (5), 923–975.
8. B. Valko. Matrices aleatorias, lecciones 14 y 15. Apuntes de las clases, Universidad de Wisconsin-Madison.
9. A. Borodin, A. Okounkov y G. Olshanski, Sobre la asintótica de las medidas de Plancherel para grupos simétricos, disponible a través de arXiv :math/9905032.
10. Lyons, R. con Peres, Y., Probability on Trees and Networks. Cambridge University Press, en preparación. Versión actual disponible en http://mypage.iu.edu/~rdlyons/