Proceso Ω de Cayley

proceso matematico

En matemáticas, el proceso Ω de Cayley , introducido por Arthur Cayley  (1846), es un operador diferencial relativamente invariante en el grupo lineal general , que se utiliza para construir invariantes de una acción grupal .

Como operador diferencial parcial que actúa sobre funciones de n ² variables x _ij , el operador omega viene dado por el determinante

${\displaystyle \Omega ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.}$

Para las formas binarias f en x ₁ , y ₁ y g en x ₂ , y _2, el operador Ω es . El proceso r -fold Ω Ω ^r ( f , g ) en dos formas f y g en las variables x e y es entonces ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{2}\partial y_{1}}}}$

1. Convierta f a una forma en x ₁ , y ₁ y g a una forma en x ₂ , y ₂
2. Aplique el operador Ω r veces a la función fg , es decir, f multiplicada por g en estas cuatro variables
3. Sustituya x por x ₁ y x ₂ , y por y ₁ e y ₂ en el resultado

El resultado del proceso r -fold Ω Ω ^r ( f , g ) en las dos formas f y g también se llama r -ésimo transvectante y comúnmente se escribe ( f , g ) ^r .

Aplicaciones

El proceso Ω de Cayley aparece en la identidad de Capelli , que Weyl (1946) utilizó para encontrar generadores para las invariantes de varios grupos clásicos que actúan sobre álgebras polinómicas naturales.

Hilbert (1890) utilizó el proceso Ω de Cayley en su prueba de generación finita de anillos de invariantes del grupo lineal general. Su uso del proceso Ω da una fórmula explícita para el operador de Reynolds del grupo lineal especial.

El proceso Ω de Cayley se utiliza para definir transvectantes .

Referencias

• Cayley, Arthur (1846), "Sobre transformaciones lineales", Cambridge and Dublin Mathematical Journal , 1 : 104-122Reimpreso en Cayley (1889), The Collected Math Papers , vol. 1, Cambridge: Cambridge University Press, págs. 95-112
• Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen", Mathematische Annalen , 36 (4): 473–534, doi :10.1007/BF01208503, ISSN  0025-5831, S2CID  179177713
• Howe, Roger (1989), "Observaciones sobre la teoría invariante clásica", Transactions of the American Mathematical Society , 313 (2), American Mathematical Society: 539–570, doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X , ISSN  0002-9947, JSTOR  2001418, SEÑOR  0986027
• Olver, Peter J. (1999), Teoría invariante clásica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55821-1
• Sturmfels, Bernd (1993), Algoritmos en teoría invariante , Textos y monografías sobre computación simbólica, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-211-82445-0, señor  1255980
• Weyl, Hermann (1946), Los grupos clásicos: sus invariantes y representaciones, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, SEÑOR  0000255 , consultado el 26 de marzo de 2007