Un problema matemático de ajedrez es un problema matemático que se formula utilizando un tablero de ajedrez y piezas de ajedrez . Estos problemas pertenecen a las matemáticas recreativas . Los problemas más conocidos de este tipo son el problema de las ocho reinas y el problema del recorrido del caballo , que tienen conexión con la teoría de grafos y la combinatoria . Muchos matemáticos famosos estudiaron problemas matemáticos de ajedrez, como Thabit , Euler , Legendre y Gauss . [1] Además de encontrar una solución a un problema particular, los matemáticos generalmente están interesados en contar el número total de soluciones posibles, encontrar soluciones con ciertas propiedades, así como la generalización de los problemas a tableros N × N o M × N.
Un problema de independencia (o desprotección [2] ) es un problema en el que, dado un cierto tipo de pieza de ajedrez (reina, torre, alfil, caballo o rey), se debe encontrar el número máximo que se puede colocar en un tablero de ajedrez de modo que ninguna de las piezas se ataque entre sí. También se requiere que se encuentre una disposición real para este número máximo de piezas. El problema más famoso de este tipo es el rompecabezas de las ocho reinas . Los problemas se amplían aún más preguntando cuántas soluciones posibles existen. Otras generalizaciones aplican el problema a tableros NxN. [3] [4]
Un tablero de ajedrez de 8×8 puede tener 16 reyes independientes, 8 reinas independientes, 8 torres independientes, 14 alfiles independientes o 32 caballos independientes. [5] A continuación se muestran las soluciones para reyes, alfiles, reinas y caballos. Para obtener 8 torres independientes es suficiente colocarlas en una de las diagonales principales.
Un problema de dominación (o cobertura ) implica encontrar el número mínimo de piezas del tipo dado para colocar en un tablero de ajedrez de manera que todas las casillas vacías sean atacadas al menos una vez. Es un caso especial del problema de cobertura de vértices . El número mínimo de reyes dominantes es 9, el de reinas es 5, el de torres es 8, el de alfiles es 8 y el de caballos es 12. Para obtener 8 torres dominantes, es suficiente colocar una en cada columna. Las soluciones para otras piezas se proporcionan en los diagramas a continuación.
Los problemas de dominación también se formulan a veces como si se requiriera encontrar el número mínimo de piezas necesarias para atacar todas las casillas del tablero, incluidas las ocupadas. [6] Para las torres, se requieren ocho; la solución es colocarlas todas en una columna o fila. Las soluciones para las demás piezas se dan a continuación.
La dominación de las reinas en la diagonal principal de un tablero de ajedrez de cualquier tamaño puede demostrarse como equivalente a un problema de teoría de números que consiste en encontrar un conjunto de Salem-Spencer , un conjunto de números en el que ninguno de los números es el promedio de otros dos. La colocación óptima de las reinas se obtiene dejando vacante un conjunto de casillas que tengan todas la misma paridad (todas estén en posiciones pares o todas en posiciones impares a lo largo de la diagonal) y que formen un conjunto de Salem-Spencer. [7]
Este tipo de problemas consiste en encontrar un recorrido para una determinada pieza de ajedrez que recorra todas las casillas del tablero. El problema más conocido de este tipo es el recorrido del caballo . Además del caballo, existen recorridos similares para el rey, la reina y la torre. Los alfiles no pueden alcanzar todas las casillas del tablero, por lo que el problema para ellos se formula de modo que alcancen todas las casillas de un mismo color. [8]
En los problemas de intercambio de piezas de ajedrez, las piezas blancas se intercambian con las piezas negras. [9] Esto se hace con los movimientos legales normales de las piezas durante una partida, pero no se requiere que se alternen los turnos. Por ejemplo, un caballo blanco puede moverse dos veces seguidas. No se permite capturar piezas. Dos de estos problemas se muestran a continuación. En el primero, el objetivo es intercambiar las posiciones de los caballos blancos y negros. En el segundo, las posiciones de los alfiles deben intercambiarse con una limitación adicional: que las piezas enemigas no se ataquen entre sí.