Problema bien planteado

Término relativo a las propiedades que deben tener los modelos matemáticos de los fenómenos físicos.

En matemáticas , un problema bien planteado es aquel para el cual se cumplen las siguientes propiedades: ^[a]

1. El problema tiene solución
2. La solución es única
3. El comportamiento de la solución cambia continuamente con las condiciones iniciales.

Entre los ejemplos de problemas arquetípicos bien planteados se incluyen el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace y la ecuación del calor con condiciones iniciales específicas. Estos pueden considerarse problemas "naturales" en el sentido de que existen procesos físicos modelados por estos problemas.

Los problemas que no están bien planteados en el sentido anterior se denominan mal planteados . Los problemas inversos suelen estar mal planteados; por ejemplo, la ecuación inversa del calor, que deduce una distribución previa de temperatura a partir de los datos finales, no está bien planteada porque la solución es muy sensible a los cambios en los datos finales.

Los modelos continuos a menudo deben discretizarse para obtener una solución numérica. Si bien las soluciones pueden ser continuas con respecto a las condiciones iniciales, pueden sufrir inestabilidad numérica cuando se resuelven con precisión finita o con errores en los datos.

Acondicionamiento

Incluso si un problema está bien planteado, puede estar mal condicionado , lo que significa que un pequeño error en los datos iniciales puede dar lugar a errores mucho mayores en las respuestas. Los problemas en sistemas complejos no lineales (los llamados sistemas caóticos ) proporcionan ejemplos bien conocidos de inestabilidad. Un problema mal condicionado se indica mediante un número de condición grande .

Si el problema está bien planteado, entonces tiene una buena probabilidad de solución en una computadora que utilice un algoritmo estable . Si no está bien planteado, necesita ser reformulado para un tratamiento numérico. Por lo general, esto implica incluir suposiciones adicionales, como la suavidad de la solución. Este proceso se conoce como regularización . La regularización de Tikhonov es una de las más utilizadas para la regularización de problemas lineales mal planteados.

Método de energía

El método de la energía es útil para establecer tanto la unicidad como la continuidad con respecto a las condiciones iniciales (es decir, no establece la existencia). El método se basa en la derivación de un límite superior de una función similar a la energía para un problema dado.

Ejemplo : Considere la ecuación de difusión en el intervalo unitario con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas y datos iniciales adecuados (por ejemplo, para el cual ). ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

Multiplica la ecuación por e integra en el espacio sobre el intervalo unitario para obtener ${\displaystyle u_{t}=Du_{xx}}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{aligned}}}$$

Esto nos dice que ( p-norma ) no puede crecer en el tiempo. Al multiplicar por dos e integrar en el tiempo, desde hasta , se encuentra ${\displaystyle \|u\|_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}}$$

Este resultado es la estimación de energía para este problema.

Para demostrar la unicidad de las soluciones, supongamos que hay dos soluciones distintas al problema, llamémoslas y , cada una de las cuales satisface los mismos datos iniciales. Al definir entonces, mediante la linealidad de las ecuaciones, se encuentra que satisface ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w=u-v}$ ${\displaystyle w}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

Aplicando la estimación energética nos dice lo que implica ( en casi todas partes ). ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0}$ ${\displaystyle u=v}$

De manera similar, para mostrar la continuidad con respecto a las condiciones iniciales, suponga que y son soluciones correspondientes a diferentes datos iniciales y . Considerando una vez más, se encuentra que satisface las mismas ecuaciones que antes pero con . Esto conduce a la estimación de energía que establece la continuidad (es decir, a medida que y se vuelven más cercanos, medidos por la norma de su diferencia, entonces ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$ ${\displaystyle v(x,0)=g(x)}$ ${\displaystyle w=u-v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w(x,0)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0}$

El principio del máximo es un enfoque alternativo para establecer la unicidad y la continuidad de las soluciones con respecto a las condiciones iniciales para este ejemplo. La existencia de soluciones para este problema se puede establecer utilizando series de Fourier .

Véase también

• Espectroscopia de absorción total : un ejemplo de un problema inverso o un problema mal planteado en una situación de la vida real que se resuelve mediante el algoritmo de expectativa-maximización

Notas

1. Esta definición de un problema bien planteado proviene del trabajo de Jacques Hadamard sobre el modelado matemático de los fenómenos físicos .

Referencias

• Hadamard, Jacques (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique . Boletín de la Universidad de Princeton. págs. 49–52.
• Parker, Sybil B., ed. (1989) [1974]. Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos (4.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-045270-9.
• Tikhonov, AN; Arsenin, VY (1977). Soluciones de problemas mal planteados . Nueva York: Winston. ISBN 0-470-99124-0.
• Strauss, Walter A. (2008). Ecuaciones diferenciales parciales: una introducción (2.ª ed.). Hoboken: Wiley. ISBN 978-0470-05456-7.