problema de weber

Problema de minimizar la suma de los costos de transporte.

En geometría , el problema de Weber , que lleva el nombre de Alfred Weber , es uno de los problemas más famosos de la teoría de la localización . Requiere encontrar un punto en el avión que minimice la suma de los costos de transporte desde este punto hasta n puntos de destino, donde diferentes puntos de destino están asociados con diferentes costos por unidad de distancia.

El problema de Weber generaliza la mediana geométrica , que supone que los costos de transporte por unidad de distancia son los mismos para todos los puntos de destino, y el problema de calcular el punto de Fermat , la mediana geométrica de tres puntos. Por esta razón, a veces se le llama problema de Fermat-Weber, aunque también se ha utilizado el mismo nombre para el problema de la mediana geométrica no ponderada. El problema de Weber, a su vez, se generaliza mediante el problema de atracción-repulsión, que permite que algunos de los costos sean negativos, de modo que una mayor distancia desde algunos puntos es mejor.

Definición e historia de los problemas de Fermat, Weber y atracción-repulsión.

En el caso del triángulo, el problema de Fermat consiste en localizar un punto D con respecto a tres puntos A, B, C de tal forma que la suma de las distancias entre D y cada uno de los otros tres puntos sea mínima. Fue formulado por el famoso matemático francés Pierre de Fermat antes de 1640, y puede verse como el verdadero comienzo tanto de la teoría de la ubicación como de la economía espacial. Torricelli encontró una solución geométrica a este problema alrededor de 1645, pero más de 325 años después todavía no tenía una solución numérica directa. E. Weiszfeld publicó un artículo en 1937 con un algoritmo para el problema de Fermat-Weber. Como el artículo se publicó en la revista Tohoku Mathematical y Weiszfeld emigró a EE. UU. y cambió su nombre a Vaszoni, su trabajo no fue ampliamente conocido. ^[1] Kuhn y Kuenne ^[2] encontraron de forma independiente una solución iterativa similar para el problema general de Fermat en 1962 y, en 1972, Tellier ^[3] encontró una solución numérica directa al problema del triángulo de Fermat, que es trigonométrica. La solución de Kuhn y Kuenne se aplica al caso de polígonos que tienen más de tres lados, lo que no ocurre con la solución de Tellier por razones que se explican más adelante.

El problema de Weber consiste, en el caso del triángulo, en localizar un punto D con respecto a tres puntos A, B, C de tal manera que se minimice la suma de los costos de transporte entre D y cada uno de los otros tres puntos. El problema de Weber es una generalización del problema de Fermat ya que involucra fuerzas de atracción iguales y desiguales (ver más abajo), mientras que el problema de Fermat solo trata con fuerzas de atracción iguales. Fue formulado por primera vez y resuelto geométricamente en el caso del triángulo por Thomas Simpson en 1750. ^[4] Posteriormente fue popularizado por Alfred Weber en 1909. ^[5] La solución iterativa de Kuhn y Kuenne encontrada en 1962, y la solución de Tellier encontrada en 1972 se aplican tanto al problema del triángulo de Weber como al de Fermat. La solución de Kuhn y Kuenne se aplica también al caso de polígonos que tienen más de tres lados.

En su versión más simple, el problema de atracción-repulsión consiste en situar un punto D con respecto a tres puntos A ₁ , A ₂ y R de tal manera que las fuerzas de atracción ejercidas por los puntos A ₁ , A ₂ y la fuerza repulsiva ejercida por el punto R se cancelan entre sí como debe hacerlo en el punto óptimo. Constituye una generalización de los problemas de Fermat y Weber. Fue formulado y resuelto por primera vez, en el caso del triángulo, en 1985 por Luc-Normand Tellier . ^[6] En 1992, Chen, Hansen, Jaumard y Tuy encontraron una solución al problema de Tellier para el caso de polígonos que tienen más de tres lados.

La solución geométrica de Torricelli al problema del triángulo de Fermat

La solución geométrica de Torricelli al problema del triángulo de Fermat.

La solución geométrica de Evangelista Torricelli al problema del triángulo de Fermat surge de dos observaciones:

1. El punto D está en su ubicación óptima cuando cualquier movimiento significativo fuera de esa ubicación induce un aumento neto de la distancia total a los puntos de referencia A, B, C , lo que significa que el punto óptimo es el único punto donde se realiza un movimiento infinitesimal hacia uno de los tres puntos de referencia inducen una reducción de la distancia a ese punto que es igual a la suma de los cambios inducidos en las distancias a los otros dos puntos; de hecho, en el problema de Fermat, la ventaja de reducir la distancia de A en un kilómetro es igual a la ventaja de reducir la distancia de B en un kilómetro o la distancia de C en la misma longitud; en otras palabras, la actividad que se ubicará en D es igualmente atraída por A, B, C ;
2. Según un importante teorema de la geometría euclidiana, en un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo, los ángulos opuestos son suplementarios (es decir, su suma es igual a 180°); ese teorema también puede tomar la siguiente forma: si cortamos una circunferencia con una cuerda AB , obtenemos dos arcos de circunferencia, digamos AiB , AjB ; en el arco AiB , cualquier ángulo ∠ AiB es el mismo para cualquier punto i elegido , y, en el arco AjB , todos los ángulos ∠ AjB también son iguales para cualquier punto j elegido ; además, los ángulos ∠ AiB , ∠ AjB son suplementarios.

Se puede demostrar que la primera observación implica que, en el estado óptimo, los ángulos entre las rectas AD, BD, CD deben ser iguales a 360° / 3 = 120°. Torricelli dedujo de esa conclusión que:

1. Si cualquier triángulo △ ABD , cuyo ángulo ∠ ADB es igual a 120°, genera un cuadrilátero convexo ABDE inscrito en un círculo, el ángulo ∠ ABE del triángulo △ ABE debe ser igual a (180° − 120°) = 60°;
2. Una forma de determinar el conjunto de ubicaciones de D para las cuales el ángulo ∠ ADB es igual a 120° es dibujar un triángulo equilátero △ ABE (porque cada ángulo de un triángulo equilátero es igual a 60°), donde E está ubicado fuera del △ Triángulo ABC y dibuja un círculo alrededor de ese triángulo; entonces todos los puntos D' de la circunferencia de ese círculo que se encuentran dentro del círculo △ ABC son tales que el ángulo ∠ AD'B es igual a 120°;
3. El mismo razonamiento se puede hacer con respecto a los triángulos △ ACD , △ BCD ;
4. Esto lleva a dibujar otros dos triángulos equiláteros △ ACF , △ BCG , donde F, G están ubicados fuera del triángulo △ ABC , así como otros dos círculos alrededor de estos triángulos equiláteros, y a determinar la ubicación donde se cruzan los tres círculos; en ese lugar, los ángulos entre las rectas AD, BD, CD son necesariamente iguales a 120°, lo que demuestra que es el lugar óptimo.

La solución geométrica de Simpson al problema del triángulo de Weber

La solución geométrica de Simpson al problema del triángulo de Weber.

La solución geométrica de Simpson del llamado "problema del triángulo de Weber" (que fue formulado por primera vez por Thomas Simpson en 1750) se deriva directamente de la solución de Torricelli. Simpson y Weber enfatizaron el hecho de que, en un problema de minimización total del transporte, la ventaja de acercarse a cada punto de atracción A, B o C depende de lo que se transporta y de su costo de transporte. En consecuencia, la ventaja de acercarse un kilómetro a A, B o C varía, y los ángulos ∠ ADB , ∠ ADC , ∠ BDC ya no necesitan ser iguales a 120°.

Simpson demostró que, de la misma manera que, en el caso del problema del triángulo de Fermat, los triángulos construidos △ ABE , △ ACF , △ BCG eran equiláteros porque las tres fuerzas de atracción eran iguales, en el caso del problema del triángulo de Weber, los triángulos construidos △ ABE , △ ACF , △ BCG , donde E, F, G están ubicados fuera del triángulo △ ABC , debe ser proporcional a las fuerzas de atracción del sistema de ubicación.

La solución es tal que:

1. En el triángulo construido △ ABE , el lado AB es proporcional a la fuerza de atracción w _C que apunta hacia C , el lado AE es proporcional a la fuerza de atracción w _B que apunta hacia B , y el lado BE es proporcional a la fuerza de atracción w _A que apunta hacia A ;
2. En el triángulo construido △ BCG , el lado BC es proporcional a la fuerza de atracción w _A que apunta hacia A , el lado BG es proporcional a la fuerza de atracción w _C que apunta hacia B , y el lado CG es proporcional a la fuerza de atracción w _B que apunta hacia C ;
3. El punto óptimo D se encuentra en la intersección de las dos circunferencias dibujadas alrededor de los triángulos construidos △ ABE , △ BCG .

Se puede dibujar un tercer triángulo de fuerzas △ ACF , donde F está ubicado fuera del triángulo △ ABC , basándose en el lado AC , y se puede trazar una tercera circunferencia alrededor de ese triángulo. Esa tercera circunferencia cruza las dos anteriores en el mismo punto D.

La solución geométrica de Tellier al problema del triángulo de atracción-repulsión.

Solución geométrica de Tellier al problema del triángulo de atracción-repulsión.

Existe una solución geométrica para el problema del triángulo de atracción-repulsión. Su descubrimiento es bastante reciente. ^[7] Esa solución geométrica difiere de las dos anteriores ya que, en este caso, los dos triángulos de fuerza construidos se superponen al triángulo de ubicación △ A ₁ A ₂ R (donde A ₁ y A ₂ son puntos de atracción, y R , uno de repulsión ), mientras que, en los casos anteriores, nunca lo hicieron.

Esta solución es tal que:

1. En el triángulo construido △ RA ₂ H , que se superpone parcialmente al triángulo de ubicación △ A ₁ A ₂ R , el lado RA ₂ es proporcional a la fuerza de atracción w _{A 1} que apunta hacia A ₁ , el lado RH es proporcional a la fuerza de atracción w _{A 2} apunta hacia A ₂ , y el lado A ₂ H es proporcional a la fuerza repulsiva w _{R que} empuja alejándose del punto R ;
2. En el triángulo construido △ RA ₁ I , que se superpone parcialmente al triángulo de ubicación △ A ₁ A ₂ R , el lado RA ₁ es proporcional a la fuerza de atracción w _{A 2} que apunta hacia A ₂ , el lado RI es proporcional a la fuerza de atracción w _{A 1} apunta hacia A ₁ , y el lado A ₁ I es proporcional a la fuerza repulsiva w _{R que} empuja alejándose del punto R ;
3. El punto óptimo D se encuentra en la intersección de las dos circunferencias dibujadas alrededor de los triángulos construidos △ RA ₂ H y △ RA ₁ I.

Esta solución es inútil si una de las fuerzas es mayor que la suma de las otras dos o si los ángulos no son compatibles. En algunos casos, ninguna fuerza es mayor que las otras dos y los ángulos no son compatibles; entonces, la ubicación óptima es el punto que ejerce la mayor fuerza de atracción.

Solución trigonométrica de Tellier de los problemas de los triángulos de Fermat y Weber

Los ángulos del problema de Weber.

El caso de no coincidencia de los vértices de los ángulos α.

Más de 332 años separan la primera formulación del problema del triángulo de Fermat y el descubrimiento de su solución numérica no iterativa, mientras que durante casi todo ese período de tiempo existió una solución geométrica. ¿Hay una explicación para eso? Esa explicación radica en la posibilidad de que no coincidan los orígenes de los tres vectores orientados hacia los tres puntos de atracción. Si esos orígenes coinciden y se encuentran en la ubicación óptima P , los vectores orientados hacia A, B, C y los lados del triángulo de ubicación △ ABC forman los seis ángulos ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 , ∠6 , y los tres vectores forman los ángulos ∠ α _A , ∠ α _B , ∠ α _C. Es fácil escribir las siguientes seis ecuaciones que vinculan seis incógnitas (los ángulos ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 ) con seis valores conocidos (ángulos ∠ A , ∠ B , ∠ C , cuyos valores se dan, y los ángulos ∠ α _A , ∠ α _B , ∠ α _C , cuyos valores dependen sólo de la magnitud relativa de las tres fuerzas de atracción que apuntan hacia los puntos de atracción A, B, C ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\angle 1+\angle 2&=\angle C;\\\angle 3+\angle 4&=\angle A;\\\angle 5+\angle 6&=\angle B;\\[4pt]\angle 1+\angle 6+\angle \alpha _{A}&=180^{\circ };\\\angle 2+\angle 3+\angle \alpha _{B}&=180^{\circ };\\\angle 4+\angle 5+\angle \alpha _{C}&=180^{\circ }.\end{aligned}}}$$

Desafortunadamente, este sistema de seis ecuaciones simultáneas con seis incógnitas es indeterminado, y la posibilidad de que los orígenes de los tres vectores orientados hacia los tres puntos de atracción no coincidan explica por qué. En el caso de no coincidencia, observamos que las seis ecuaciones siguen siendo válidas. Sin embargo, la ubicación óptima P ha desaparecido debido al agujero triangular que existe dentro del triángulo. De hecho, como ha demostrado Tellier (1972) ^[8] , ese agujero triangular tenía exactamente las mismas proporciones que los "triángulos de fuerzas" que dibujamos en la solución geométrica de Simpson.

Para resolver el problema, a las seis ecuaciones simultáneas debemos añadir un séptimo requisito, que establece que no debe haber ningún agujero triangular en el centro del triángulo de ubicación. En otras palabras, los orígenes de los tres vectores deben coincidir.

La solución de Tellier de los problemas de los triángulos de Fermat y Weber implica tres pasos:

1. Determine los ángulos ∠ α _A , ∠ α _B , ∠ α _C que son tales que las tres fuerzas de atracción w _A , w _B , w _C se cancelan entre sí para asegurar el equilibrio. Esto se hace mediante las siguientes ecuaciones independientes:
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \angle \alpha _{A}=-{\frac {w_{B}^{2}+w_{C}^{2}-w_{A}^{2}}{2\,w_{B}w_{C}}};\\\cos \angle \alpha _{B}=-{\frac {w_{A}^{2}+w_{C}^{2}-w_{B}^{2}}{2\,w_{A}w_{C}}};\\\cos \angle \alpha _{C}=-{\frac {w_{A}^{2}+w_{B}^{2}-w_{C}^{2}}{2\,w_{A}w_{B}}};\end{aligned}}}$$
2. Determinar el valor del ángulo ∠3 (esta ecuación deriva del requisito de que el punto D debe coincidir con el punto E ):
   $${\displaystyle \tan \angle 3={\frac {k\sin k'}{1+k\cos k'}};}$$
   dónde
   $${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {\overline {CB}}{\overline {CA}}}\times {\frac {\sin \angle \alpha _{B}}{\sin \angle \alpha _{A}}},\\[4pt]k'&=(\angle A+\angle B+\angle \alpha _{C})-180^{\circ }.\end{aligned}}}$$
3. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas donde ahora se conoce ∠3 :
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\angle 1+\angle 2&=\angle C;\\\angle 3+\angle 4&=\angle A;\\\angle 5+\angle 6&=\angle B;\\[4pt]\angle 1+\angle 6+\angle \alpha _{A}&=180^{\circ };\\\angle 2+\angle 3+\angle \alpha _{B}&=180^{\circ };\\\angle 4+\angle 5+\angle \alpha _{C}&=180^{\circ }.\end{aligned}}}$$

Solución trigonométrica de Tellier del problema de atracción-repulsión del triángulo

El problema de los ángulos del triángulo de atracción-repulsión.

El caso de no coincidencia de los puntos D, E.

Tellier (1985) ^[9] amplió el problema de Fermat-Weber al caso de fuerzas repulsivas. Examinemos el caso del triángulo donde hay dos fuerzas de atracción w _{A 1} , w _{A 2} y una fuerza de repulsión w _R . Aquí como en el caso anterior existe la posibilidad de que los orígenes de los tres vectores no coincidan. Entonces la solución debe pasar por su coincidencia. La solución trigonométrica de Tellier para este problema es la siguiente:

1. Determinar el ángulo ∠ e :
   $${\displaystyle \cos \angle e=-{\frac {w_{A1}^{2}+w_{A2}^{2}-w_{R}^{2}}{2\,w_{A1}w_{A2}}};}$$
2. Determinar el ángulo ∠ p :
   $${\displaystyle \cos \angle p=-{\frac {w_{A1}^{2}+w_{R}^{2}-w_{A2}^{2}}{2\,w_{A1}w_{R}}};}$$
3. Determinar el ángulo ∠ c :
   $${\displaystyle \angle c=180^{\circ }-\angle p;}$$
4. Determinar el ángulo ∠ d :
   $${\displaystyle \angle d=\angle e-\angle c;}$$
5. Determinar el valor del ángulo ∠3 (esta ecuación deriva del requisito de que el punto D debe coincidir con el punto E ):
   $${\displaystyle \tan \angle 3={\frac {x}{y}};}$$
   dónde
   $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin \angle f-{\frac {\overline {RA_{1}}}{\overline {RA_{2}}}}\times {\frac {\sin \angle d\sin(\angle e-\angle b)}{\sin \angle c}};\\[4pt]y&={\frac {\overline {RA_{1}}}{\overline {RA_{2}}}}\times {\frac {\sin \angle d\cos(\angle e-\angle b)}{\sin \angle c}}-\cos \angle f;\end{aligned}}}$$
6. Determinar ∠1 :
   $${\displaystyle \angle 1=180^{\circ }-\angle e-\angle 3;}$$
7. Determinar ∠5 :
   $${\displaystyle \angle 5=180^{\circ }-\angle b-\angle c-\angle 1;}$$
8. Determinar ∠2 :
   $${\displaystyle \angle 2=\angle a-\angle 5.}$$

Soluciones iterativas de los problemas de Fermat, Weber y de atracción-repulsión.

Cuando el número de fuerzas es superior a tres, ya no es posible determinar los ángulos que separan las distintas fuerzas sin tener en cuenta la geometría del polígono de ubicación. Los métodos geométricos y trigonométricos son entonces impotentes. En tales casos se utilizan métodos de optimización iterativos. Kuhn y Kuenne (1962) ^[10] sugirieron un algoritmo basado en mínimos cuadrados reponderados iterativamente que generaliza el algoritmo de Weiszfeld para el problema no ponderado . Su método es válido para los problemas de Fermat y Weber que involucran muchas fuerzas, pero no para el problema de atracción-repulsión. En este método, para encontrar una aproximación al punto y minimizando la suma ponderada de distancias

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\,\|x_{i}-y\|,}$$

y ₀y _{j + 1}

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{\|x_{i}-y_{j}\|}}\|x_{i}-y\|^{2}}$$

w _i

$${\displaystyle y_{j+1}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}x_{i}}{|x_{i}-y_{j}|}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{|x_{i}-y_{j}|}}}}}$$

El marco de Varignon proporciona una solución experimental al problema de Weber.

Para el problema de atracción-repulsión hay que recurrir al algoritmo propuesto por Chen, Hansen, Jaumard y Tuy (1992). ^[11]

Interpretación de la teoría de la renta de la tierra a la luz del problema de atracción-repulsión

En el mundo de la economía espacial , las fuerzas repulsivas son omnipresentes. Los valores de la tierra son el principal ejemplo de ello. De hecho, una parte sustancial de la teoría del valor de la tierra , tanto rural como urbana, puede resumirse de la siguiente manera.

En el caso en el que todo el mundo se sienta atraído por un único punto de atracción (el mercado rural o el distrito comercial central urbano), la competencia entre los diversos postores que quieren ubicarse en el centro generará valores de terreno que transformarán el punto de atracción único del sistema en un punto de repulsión desde el punto de vista del valor del suelo y, en el equilibrio, cada habitante y actividad se ubicará en el punto donde las fuerzas atractivas y repulsivas que ejerce el centro sobre ellos se anularán.

El problema de atracción-repulsión y la nueva geografía económica

El problema de Tellier precedió al surgimiento de la Nueva Geografía Económica . Ottaviano y Thisse (2005) ^[12] lo ven como un preludio de la Nueva Geografía Económica (NEG) que se desarrolló en la década de 1990 y que le valió a Paul Krugman el Premio Nobel de Ciencias Económicas en 2008. El concepto de fuerza atractiva es similar al concepto NEG de aglomeración o fuerza centrípeta, y el concepto de fuerza repulsiva es similar al concepto NEG de dispersión o fuerza centrífuga.

Notas

1. Weiszfeld, E. (1937). "Sur le point pour lequel la Somme des distancias de n puntos donnés est mínimo". Revista matemática de Tohoku . Primera Serie. 43 : 355–386.
2. Kuhn, Harold W. y Robert E. Kuenne, 1962, "Un algoritmo eficiente para la solución numérica del problema generalizado de Weber en economía espacial". Revista de ciencia regional 4, 21–34.
3. Tellier, Luc-Normand, 1972, "El problema de Weber: solución e interpretación", Análisis geográfico , vol. 4, núm. 3, págs. 215-233.
4. Simpson, Thomas, 1750, La doctrina y aplicación de las fluxiones , Londres.
5. Weber, Alfred, 1909, Über den Standort der Industrien , Tübingen, JCB Mohr) - Traducción al inglés: La teoría de la ubicación de las industrias , Chicago, Chicago University Press, 1929, 256 páginas.
6. Tellier, Luc-Normand, 1985, Économie espacial: racionalité économique de l'espace habité , Chicoutimi, Gaëtan Morin éditeur, 280 páginas.
7. Tellier, Luc-Normand, 2013, «Anexo 1: Solution géométrique du cas triangulaire du problème d'attraction-répulsion», anexo del artículo de Pierre Hansen, Christophe Meyer y Luc-Normand Tellier, «Modèles topodynamique et de la Nouvelle économie géographique : compatibilité, convergence et avantages comparés », en Marc-Urbain Proulx (ed.), 2013, Sciences du territoire II : méthodologies , Québec, Presses de l'Université du Québec.
8. Tellier, Luc-Normand, 1972, "El problema de Weber: solución e interpretación", Análisis geográfico , vol. 4, núm. 3, págs. 215-233.
9. Tellier, Luc-Normand, 1985, Économie espacial: racionalité économique de l'espace habité , Chicoutimi, Gaëtan Morin éditeur, 280 páginas.
10. Kuhn, Harold W. y Robert E. Kuenne, 1962, "Un algoritmo eficiente para la solución numérica del problema generalizado de Weber en economía espacial". Revista de ciencia regional 4, 21–34.
11. Chen, Pey-Chun, Hansen, Pierre, Jaumard, Brigitte y Hoang Tuy, 1992, "El problema de Weber con la atracción y la repulsión", Journal of Regional Science 32, 467–486.
12. Ottaviano, Gianmarco y Jacques-François Thisse, 2005, «Nueva geografía económica: ¿qué pasa con la N? », Medio ambiente y planificación A 37, 1707–1725.

Referencias

• Chen, Pey-Chun, Hansen, Pierre, Jaumard, Brigitte y Hoang Tuy, 1992, "El problema de Weber con la atracción y la repulsión", Journal of Regional Science 32, 467–486.
• Kuhn, Harold W. y Robert E. Kuenne, 1962, "Un algoritmo eficiente para la solución numérica del problema generalizado de Weber en economía espacial". Revista de ciencia regional 4, 21–34.
• Ottaviano, Gianmarco y Jacques-François Thisse, 2005, « Nueva geografía económica: ¿qué pasa con la N? », Medio ambiente y planificación A 37, 1707–1725.
• Simpson, Thomas, 1750, La doctrina y aplicación de las fluxiones, Londres.
• Tellier, Luc-Normand y Boris Polanski, 1989, "El problema de Weber: frecuencia de diferentes tipos de soluciones y extensión a fuerzas repulsivas y procesos dinámicos", Journal of Regional Science , vol 29, no. 3, pág. 387–405.
• Tellier, Luc-Normand, 1972, "El problema de Weber: solución e interpretación", Análisis geográfico , vol. 4, núm. 3, págs. 215–233.
• Tellier, Luc-Normand, 1985, Économie espacial: racionalité économique de l'espace habité , Chicoutimi, Gaëtan Morin éditeur, 280 páginas.
• Tellier, Luc-Normand, 2013, «Anexo 1: Solution géométrique du cas triangulaire du problème d'attraction–répulsion», anexo del artículo de Pierre Hansen, Christophe Meyer y Luc-Normand Tellier, «Modèles topodynamique et de la Nouvelle économie géographique : compatibilité, convergence et avantages comparés », en Marc-Urbain Proulx (ed.), 2013, Sciences du territoire II : méthodologies , Québec, Presses de l'Université du Québec.
• Weber, Alfred, 1909, Über den Standort der Industrien , Tübingen, JCB Mohr) - Traducción al inglés: The Theory of the Location of Industries , Chicago, Chicago University Press, 1929, 256 páginas.
• Wesolowski, Georges, 1993, «El problema de Weber: historia y perspectiva», Location Science , vol. 1, pág. 5–23.

enlaces externos

• "Problema de Weber", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

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