Problema de signo numérico

Problema en matemáticas aplicadas

En matemáticas aplicadas , el problema del signo numérico es el problema de evaluar numéricamente la integral de una función altamente oscilatoria de un gran número de variables. Los métodos numéricos fallan debido a la casi cancelación de las contribuciones positivas y negativas a la integral. Cada una de ellas debe integrarse con una precisión muy alta para que su diferencia se obtenga con una exactitud útil .

El problema del signo es uno de los principales problemas no resueltos en la física de sistemas de muchas partículas . A menudo surge en los cálculos de las propiedades de un sistema mecánico cuántico con un gran número de fermiones que interactúan fuertemente , o en teorías de campo que involucran una densidad distinta de cero de fermiones que interactúan fuertemente.

Descripción general

En física, el problema del signo se encuentra típicamente (pero no exclusivamente) en los cálculos de las propiedades de un sistema mecánico cuántico con un gran número de fermiones que interactúan fuertemente, o en teorías de campo que involucran una densidad distinta de cero de fermiones que interactúan fuertemente. Debido a que las partículas interactúan fuertemente, la teoría de perturbaciones es inaplicable y uno se ve obligado a usar métodos numéricos de fuerza bruta. Debido a que las partículas son fermiones, su función de onda cambia de signo cuando se intercambian dos fermiones cualesquiera (debido a la antisimetría de la función de onda, véase el principio de Pauli ). Entonces, a menos que haya cancelaciones que surjan de alguna simetría del sistema, la suma mecánico cuántica sobre todos los estados de múltiples partículas involucra una integral sobre una función que es altamente oscilatoria, por lo tanto difícil de evaluar numéricamente, particularmente en alta dimensión. Dado que la dimensión de la integral está dada por el número de partículas, el problema del signo se vuelve severo en el límite termodinámico . La manifestación teórica del campo del problema del signo se analiza a continuación.

El problema del signo es uno de los principales problemas sin resolver en la física de sistemas de muchas partículas, lo que impide el progreso en muchas áreas:

• Física de la materia condensada : impide la solución numérica de sistemas con una alta densidad de electrones fuertemente correlacionados, como el modelo de Hubbard . ^[1]
• Física nuclear : impide el cálculo ab initio de las propiedades de la materia nuclear y, por lo tanto, limita nuestra comprensión de los núcleos y las estrellas de neutrones .
• Teoría cuántica de campos : impide el uso de QCD en red ^[2] para predecir las fases y propiedades de la materia de quarks . ^[3] (En la teoría de campos en red , el problema también se conoce como el problema de acción compleja ). ^[4]

El problema del signo en la teoría de campos

^[a] En un enfoque de teoría de campos para sistemas de múltiples partículas, la densidad de fermiones está controlada por el valor del potencial químico del fermión . Se evalúa la función de partición sumando todas las configuraciones de campo clásicas, ponderadas por , donde es la acción de la configuración. La suma sobre los campos de fermiones se puede realizar analíticamente, y se obtiene una suma sobre los campos bosónicos (que pueden haber sido originalmente parte de la teoría, o haber sido producidos por una transformación de Hubbard-Stratonovich para hacer que la acción del fermión sea cuadrática) ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \exp(-S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle Z=\int D\sigma \,\rho [\sigma ],}$

donde representa la medida de la suma de todas las configuraciones de los campos bosónicos, ponderada por ${\displaystyle D\sigma }$ ${\displaystyle \sigma (x)}$

${\displaystyle \rho [\sigma ]=\det(M(\mu ,\sigma ))\exp(-S[\sigma ]),}$

donde ahora es la acción de los campos bosónicos, y es una matriz que codifica cómo se acoplaron los fermiones a los bosones. El valor esperado de un observable es, por lo tanto, un promedio de todas las configuraciones ponderado por : ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M(\mu ,\sigma )}$ ${\displaystyle A[\sigma ]}$ ${\displaystyle \rho [\sigma ]}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma \,A[\sigma ]\,\rho [\sigma ]}{\int D\sigma \,\rho [\sigma ]}}.}$

Si es positivo, entonces se puede interpretar como una medida de probabilidad y se puede calcular realizando la suma sobre las configuraciones de campo numéricamente, utilizando técnicas estándar como el muestreo de importancia de Monte Carlo . ${\displaystyle \rho [\sigma ]}$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }}$

El problema del signo surge cuando no es positivo. Esto ocurre típicamente en teorías de fermiones cuando el potencial químico del fermión no es cero, es decir, cuando hay una densidad de fondo de fermiones distinta de cero. Si , no hay simetría partícula-antipartícula, y , y por lo tanto el peso , es en general un número complejo , por lo que no se puede utilizar el muestreo de importancia de Monte Carlo para evaluar la integral. ${\displaystyle \rho [\sigma ]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \neq 0}$ ${\displaystyle \det(M(\mu ,\sigma ))}$ ${\displaystyle \rho (\sigma )}$

Procedimiento de reponderación

Una teoría de campo con un peso no positivo se puede transformar en una con un peso positivo incorporando la parte no positiva (signo o fase compleja) del peso al observable. Por ejemplo, se podría descomponer la función de ponderación en su módulo y fase:

${\displaystyle \rho [\sigma ]=p[\sigma ]\,\exp(i\theta [\sigma ]),}$

donde es real y positivo, entonces ${\displaystyle p[\sigma ]}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\,p[\sigma ]}{\int D\sigma \exp(i\theta [\sigma ])\,p[\sigma ]}}={\frac {\langle A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}{\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}}.}$

Nótese que el valor esperado deseado ahora es una razón donde el numerador y el denominador son valores esperados que ambos usan una función de ponderación positiva . Sin embargo, la fase es una función altamente oscilatoria en el espacio de configuración, por lo que si uno usa métodos de Monte Carlo para evaluar el numerador y el denominador, cada uno de ellos evaluará un número muy pequeño, cuyo valor exacto se ve inundado por el ruido inherente al proceso de muestreo de Monte Carlo. La "maldad" del problema del signo se mide por la pequeñez del denominador : si es mucho menor que 1, entonces el problema del signo es grave. Se puede demostrar ^[5] que ${\displaystyle p[\sigma ]}$ ${\displaystyle \exp(i\theta [\sigma ])}$ ${\displaystyle \langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}$

${\displaystyle \langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T),}$

donde es el volumen del sistema, es la temperatura y es una densidad de energía. Por lo tanto, la cantidad de puntos de muestreo de Monte Carlo necesarios para obtener un resultado preciso aumenta exponencialmente a medida que el volumen del sistema aumenta y la temperatura se acerca a cero. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$

La descomposición de la función de ponderación en módulo y fase es sólo un ejemplo (aunque se ha defendido como la opción óptima ya que minimiza la varianza del denominador ^[6] ). En general, se podría escribir

${\displaystyle \rho [\sigma ]=p[\sigma ]{\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}},}$

donde puede ser cualquier función de ponderación positiva (por ejemplo, la función de ponderación de la teoría). ^[7] La ​​maldad del problema del signo se mide entonces por ${\displaystyle p[\sigma ]}$ ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle \left\langle {\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}}\right\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T),}$

que nuevamente tiende a cero exponencialmente en el límite de gran volumen.

Métodos para reducir el problema de la señal

El problema del signo es NP-hard , lo que implica que una solución completa y genérica del problema del signo también resolvería todos los problemas en la clase de complejidad NP en tiempo polinomial. ^[8] Si (como generalmente se sospecha) no hay soluciones en tiempo polinomial para problemas NP (ver Problema P versus NP ), entonces no hay una solución genérica para el problema del signo. Esto deja abierta la posibilidad de que pueda haber soluciones que funcionen en casos específicos, donde las oscilaciones del integrando tienen una estructura que puede ser explotada para reducir los errores numéricos.

En sistemas con un problema de signo moderado, como las teorías de campo a una temperatura suficientemente alta o en un volumen suficientemente pequeño, el problema de signo no es demasiado severo y se pueden obtener resultados útiles mediante varios métodos, como una reponderación ajustada con más cuidado, la continuación analítica de imaginario a real o la expansión de Taylor en potencias de . ^{[3] [9]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Lista: Enfoques actuales

Existen diversas propuestas para resolver sistemas con un problema de signo severo:

• Deformación del contorno: el espacio de campo se complejiza y el contorno de la integral de trayectoria se deforma desde otra variedad dimensional incrustada en el espacio complejo. ^[10] ${\displaystyle R^{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C^{N}}$

• Algoritmos de agrupamiento de Meron : estos algoritmos logran una aceleración exponencial al descomponer las líneas del mundo de los fermiones en agrupamientos que contribuyen de forma independiente. Se han desarrollado algoritmos de agrupamiento para ciertas teorías, ^[5] pero no para el modelo de Hubbard de electrones ni para la QCD , es decir, la teoría de los quarks.

• Cuantización estocástica : la suma de las configuraciones se obtiene como la distribución de equilibrio de los estados explorada por una ecuación de Langevin compleja . Hasta ahora, se ha descubierto que el algoritmo evita el problema de los signos en modelos de prueba que tienen un problema de signos pero que no involucran fermiones. ^[11]

• Algoritmos de Majorana: el uso de la representación de fermiones de Majorana para realizar transformaciones de Hubbard-Stratonovich puede ayudar a resolver el problema del signo del fermión en una clase de modelos fermiónicos de muchos cuerpos. ^{[12] [13]}

• Monte Carlo de nodo fijo: se fija la ubicación de los nodos (ceros) de la función de onda multipartícula y se utilizan métodos de Monte Carlo para obtener una estimación de la energía del estado fundamental, sujeto a esa restricción. ^[14]

• Monte Carlo diagramático : el muestreo estocástico y estratégico de diagramas de Feynman también puede hacer que el problema del signo sea más manejable para un enfoque de Monte Carlo que, de otro modo, sería computacionalmente inviable. ^[15]

Véase también

• Método de fase estacionaria
• Integral oscilatoria

Notas al pie

1. Las fuentes para esta sección incluyen Chandrasekharan y Wiese (1999) ^[5] y Kieu y Griffin (1994), ^[6] además de las citadas.

Referencias

1. Loh, EY; Gubernatis, JE; Scalettar, RT; White, SR; Scalapino, DJ; Sugar, RL (1990). "Problema de signo en la simulación numérica de sistemas de muchos electrones". Physical Review B . 41 (13): 9301–9307. Bibcode :1990PhRvB..41.9301L. doi :10.1103/PhysRevB.41.9301. PMID  9993272.
2. de Forcrand, Philippe (2010). "Simulación de QCD a densidad finita". Pos Lat . 010 : 010. arXiv : 1005.0539 . Código Bibliográfico :2010arXiv1005.0539D.
3. Philipsen, O. (2008). "Cálculos de red a potencial químico distinto de cero: el diagrama de fases QCD". Actas de la Ciencia . 77 : 011. doi : 10.22323/1.077.0011 .
4. Anagnostopoulos, KN; Nishimura, J. (2002). "Nuevo enfoque al problema de la acción compleja y su aplicación a un estudio no perturbativo de la teoría de supercuerdas". Physical Review D . 66 (10): 106008. arXiv : hep-th/0108041 . Código Bibliográfico :2002PhRvD..66j6008A. doi :10.1103/PhysRevD.66.106008. S2CID  119384615.
5. Chandrasekharan, Shailesh; Wiese, Uwe-Jens (1999). "Solución de problemas de signos de fermiones mediante cúmulos de merones". Physical Review Letters . 83 (16): 3116–3119. arXiv : cond-mat/9902128 . Código Bibliográfico :1999PhRvL..83.3116C. doi :10.1103/PhysRevLett.83.3116. S2CID  119061060.
6. Kieu, TD; Griffin, CJ (1994). "Simulaciones de Monte Carlo con medidas indefinidas y de valor complejo". Physical Review E . 49 (5): 3855–3859. arXiv : hep-lat/9311072 . Código Bibliográfico :1994PhRvE..49.3855K. doi :10.1103/PhysRevE.49.3855. PMID  9961673. S2CID  46652412.
7. Barbour, IM; Morrison, SE; Klepfish, EG; Kogut, JB; Lombardo, M.-P. (1998). "Resultados en QCD de densidad finita". Nuclear Physics B - Suplementos de actas . 60 (1998): 220–233. arXiv : hep-lat/9705042 . Código Bibliográfico :1998NuPhS..60..220B. doi :10.1016/S0920-5632(97)00484-2. S2CID  16172956.
8. Troyer, Matthias; Wiese, Uwe-Jens (2005). "Complejidad computacional y limitaciones fundamentales de las simulaciones fermiónicas cuánticas de Monte Carlo". Physical Review Letters . 94 (17): 170201. arXiv : cond-mat/0408370 . Código Bibliográfico :2005PhRvL..94q0201T. doi :10.1103/PhysRevLett.94.170201. PMID  15904269. S2CID  11394699.
9. Schmidt, Christian (2006). "QCD reticular a densidad finita". Pos Lat . 021 : 21.1. arXiv : hep-lat/0610116 . Código Bibliográfico :2006slft.confE..21S. doi : 10.22323/1.032.0021 . S2CID  14890549.
10. Alexandru, Andrei; Basar, Gokce; Bedaque, Paulo; Warrington, Neill (2022). "Caminos complejos alrededor del problema del signo". Reseñas de Física Moderna . 94 : 015006. arXiv : 2007.05436 . doi :10.1103/RevModPhys.94.015006.
11. Aarts, Gert (2009). "¿Puede la cuantificación estocástica evadir el problema del signo? El gas de Bose relativista en potencial químico finito". Physical Review Letters . 102 (13): 131601. arXiv : 0810.2089 . Bibcode :2009PhRvL.102m1601A. doi :10.1103/PhysRevLett.102.131601. PMID  19392346. S2CID  12719451.
12. Li, Zi-Xiang; Jiang, Yi-Fan; Yao, Hong (2015). "Resolución del problema del signo del fermión en simulaciones cuánticas de Monte Carlo mediante la representación de Majorana". Physical Review B . 91 (24): 241117. arXiv : 1408.2269 . Código Bibliográfico :2015PhRvB..91x1117L. doi :10.1103/PhysRevB.91.241117. S2CID  86865851.
13. Li, Zi-Xiang; Jiang, Yi-Fan; Yao, Hong (2016). "Simetrías de inversión temporal de Majorana: un principio fundamental para simulaciones cuánticas de Monte Carlo sin problemas de signos". Physical Review Letters . 117 (26): 267002. arXiv : 1601.05780 . Código Bibliográfico :2016PhRvL.117z7002L. doi :10.1103/PhysRevLett.117.267002. PMID  28059531. S2CID  24661656.
14. Van Bemmel, HJM; Diez Haaf, DFB; Van Saarloos, W.; Van Leeuwen, JMJ ; An, G. (1994). "Método Monte Carlo cuántico de nodo fijo para fermiones de red" (PDF) . Cartas de revisión física . 72 (15): 2442–2445. Código bibliográfico : 1994PhRvL..72.2442V. doi : 10.1103/PhysRevLett.72.2442. hdl : 1887/5478 . PMID  10055881.
15. Houcke, Kris Van; Kozik, Evgeny; Prokof'ev, Nikolay V.; Svistunov, Boris Vladimirovich (1 de enero de 2010). "Montecarlo esquemático". Procedimientos de Física . 6 : 95-105. arXiv : 0802.2923 . Código Bib : 2010PhPro...6...95V. doi :10.1016/j.phpro.2010.09.034. hdl : 1854/LU-3234513 . ISSN  1875-3892. S2CID  16490610.