Número de Riesel

K impar tal que k·2ⁿ − 1 es compuesto para todo n

En matemáticas , un número de Riesel es un número natural impar k que es compuesto para todos los números naturales n (secuencia A101036 en la OEIS ). En otras palabras, cuando k es un número de Riesel, todos los miembros del siguiente conjunto son compuestos: ${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$

${\displaystyle \left\{\,k\times 2^{n}-1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.}$

Si la forma es en cambio , entonces k es un número de Sierpiński . ${\displaystyle k\times 2^{n}+1}$

Problema de Riesel

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Es 509.203 el número Riesel más pequeño?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

En 1956, Hans Riesel demostró que existe una cantidad infinita de números enteros k tales que no son primos para ningún número entero  n . Demostró que el número 509203 tiene esta propiedad, al igual que 509203 más cualquier múltiplo entero positivo de 11184810. ^[1] El problema de Riesel consiste en determinar el número de Riesel más pequeño. Como no se ha encontrado ningún conjunto de recubrimiento para ningún k menor que 509203, se conjetura que es el número de Riesel más pequeño. ${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$

Para comprobar si hay k < 509203, el proyecto Riesel Sieve (análogo a Seventeen or Bust para los números de Sierpiński ) comenzó con 101 candidatos k . A diciembre de 2022, Riesel Sieve, PrimeGrid o personas externas habían eliminado 57 de estos k . ^[2] Los 42 valores restantes de k que han producido solo números compuestos para todos los valores de n probados hasta ahora son

23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 45561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743.

La eliminación más reciente se produjo en abril de 2023, cuando Ryan Propper determinó que 97139 × 2 ^18397548 − 1 era un número primo. Este número tiene 5.538.219 dígitos.

A enero de 2023, PrimeGrid ha buscado a los candidatos restantes hasta n = 14.900.000. ^[3]

Números conocidos de Riesel

La secuencia de números de Riesel conocidos actualmente comienza con:

509203, 762701, 777149, 790841, 992077, 1106681, 1247173, 1254341, 1330207, 1330319, 1715053, 1730653, 1730681, 1744117, 1830187, 1976473, 2136283, 2251349, 2313487, 2344211, 2554843, 2924861, ... (secuencia A101036 en la OEIS )

Juego de cubiertas

Se puede demostrar que un número es un número de Riesel si se presenta un conjunto de cobertura : un conjunto de números primos que dividirá a cualquier miembro de la secuencia, llamado así porque se dice que "cubre" esa secuencia. Los únicos números de Riesel comprobados por debajo de un millón tienen conjuntos de cobertura, como se muestra a continuación:

• ${\displaystyle 509203\times 2^{n}-1}$tiene un conjunto de recubrimiento {3, 5, 7, 13, 17, 241}
• ${\displaystyle 762701\times 2^{n}-1}$tiene un conjunto de recubrimiento {3, 5, 7, 13, 17, 241}
• ${\displaystyle 777149\times 2^{n}-1}$tiene un conjunto de recubrimiento {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• ${\displaystyle 790841\times 2^{n}-1}$tiene un conjunto de recubrimiento {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• ${\displaystyle 992077\times 2^{n}-1}$tiene un conjunto de recubrimiento {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

El más pequeñonortePara cuala· 2norte- 1 es primo

Aquí hay una secuencia para k = 1, 2, .... Se define de la siguiente manera: es el n más pequeño ≥ 0 tal que es primo, o −1 si no existe tal primo. ${\displaystyle a(k)}$ ${\displaystyle a(k)}$ ${\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}$

2, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 3, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 3, 2, 1, 3, 4, 0, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 7, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 3, 12, 0, 3, 0, 2, 1, 4, 1, 5, 0, 1, 1, 2, 0, 7, 0, 1, ... (secuencia A040081 en la OEIS ). La primera incógnita n es para que k = 23669.

Las secuencias relacionadas son OEIS : A050412 (no permite n = 0), para k impares , consulte OEIS : A046069 o OEIS : A108129 (no permite n = 0).

Simultáneamente Riesel y Sierpiński

Un número puede ser simultáneamente Riesel y Sierpiński . Estos se denominan números de Brier. Los cinco ejemplos más pequeños conocidos son 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, ... (A076335). ^[4]

El problema del doble Riesel

Los números duales de Riesel se definen como los números naturales impares k tales que |2 ⁿ - k | es compuesto para todos los números naturales n . Existe la conjetura de que el conjunto de estos números es el mismo que el conjunto de números de Riesel. Por ejemplo, |2 ⁿ - 509203| es compuesto para todos los números naturales n , y se conjetura que 509203 es el número dual de Riesel más pequeño.

Los n más pequeños en los que 2 ⁿ - k es primo son (para k impares , y esta secuencia requiere que 2 ⁿ > k )

2, 3, 3, 39, 4, 4, 4, 5, 6, 5, 5, 6, 5, 5, 5, 7, 6, 6, 11, 7, 6, 29, 6, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 6, 6, 8, 8, 7, 7, 10, 9, 7, 8, 9, 7, 8, 7, 7, 8, 10, 7, 7, 26, 9, 7, 8, 7, 7, 10, 7, 7, 8, 7, 7, 47, 8, 14, 9, 11, 10, 9, 10, 8, 9, 8, 8, ... (secuencia A096502 en la OEIS )

Los k impares en los que k - 2 ⁿ son todos compuestos para todo 2 ⁿ < k (los números de De Polignac ) son

1, 127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877, 905, 907, 959, 977, 997, 1019, 1087, 1199, 1207, 1211, 1243, 1259, 1271, 1477, ... (secuencia A006285 en la OEIS )

Los valores desconocidos ^{[ aclaración necesaria ]} de k s son (para los cuales 2 ⁿ > k )

1871, 2293, 25229, 31511, 36971, 47107, 48959, 50171, 56351, 63431, 69427, 75989, 81253, 83381, 84491, ...

Base numérica de Rieselb

Se puede generalizar el problema de Riesel a un entero base b ≥ 2. Un número de Riesel base b es un entero positivo k tal que mcd ( k − 1, b − 1) = 1. (si mcd( k − 1, b − 1) > 1, entonces mcd( k − 1, b − 1) es un factor trivial de k × b ⁿ − 1 (Definición de factores triviales para las conjeturas: Todos y cada uno de los n -valores tienen el mismo factor)) ^{[5] [6]} Para cada entero b ≥ 2, hay infinitos números de Riesel base b .

Ejemplo 1: Todos los números congruentes con 84687 mod 10124569 y no congruentes con 1 mod 5 son números de Riesel en base 6, debido al conjunto de recubrimiento {7, 13, 31, 37, 97}. Además, estos k no son triviales ya que mcd( k + 1, 6 − 1) = 1 para estos k . (La conjetura de Riesel en base 6 no está probada, tiene 3 k restantes , a saber, 1597, 9582 y 57492)

Ejemplo 2: 6 es un número de Riesel para todas las bases b congruentes con 34 mod 35, porque si b es congruente con 34 mod 35, entonces 6× b ⁿ − 1 es divisible por 5 para todos los n pares y divisible por 7 para todos los n impares . Además, 6 no es un k trivial en estas bases b ya que mcd(6 − 1, b − 1) = 1 para estas bases b .

Ejemplo 3: Todos los cuadrados k congruentes con 12 mod 13 y no congruentes con 1 mod 11 son números de Riesel en base 12, ya que para todos los k , k ×12 ⁿ − 1 tiene factores algebraicos para todos los n pares y divisible por 13 para todos los n impares . Además, estos k no son triviales ya que mcd( k + 1, 12 − 1) = 1 para estos k . (Se demuestra la conjetura de Riesel en base 12)

Ejemplo 4: Si k está entre un múltiplo de 5 y un múltiplo de 11, entonces k ×109 ⁿ − 1 es divisible por 5 o por 11 para todos los enteros positivos n . Los primeros k son 21, 34, 76, 89, 131, 144, ... Sin embargo, todos estos k < 144 también son k triviales (es decir, mcd( k − 1, 109 − 1) no es 1). Por lo tanto, el número de Riesel base 109 más pequeño es 144. (La conjetura de Riesel base 109 no está probada, le queda un k , es decir, 84)

Ejemplo 5: Si k es cuadrado, entonces k ×49 ⁿ − 1 tiene factores algebraicos para todos los enteros positivos n . Los primeros cuadrados positivos son 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... Sin embargo, todos estos k < 36 también son k triviales (es decir, mcd( k − 1, 49 − 1) no es 1). Por lo tanto, el número de Riesel base 49 más pequeño es 36. (Se demuestra la conjetura de Riesel base 49)

Queremos encontrar y probar el número de Riesel base b más pequeño para cada entero b ≥ 2. Es una conjetura que si k es un número de Riesel base b , entonces se cumple al menos una de las tres condiciones:

1. Todos los números de la forma k × b ⁿ − 1 tienen un factor en algún conjunto de cobertura. (Por ejemplo, b = 22, k = 4461, entonces todos los números de la forma k × b ⁿ − 1 tienen un factor en el conjunto de cobertura: {5, 23, 97})
2. k × b ⁿ − 1 tiene factores algebraicos. (Por ejemplo, b = 9, k = 4, entonces k × b ⁿ − 1 se puede factorizar como (2×3 ⁿ − 1) × (2×3 ⁿ + 1))
3. Para algunos n , los números de la forma k × b ⁿ − 1 tienen un factor en algún conjunto de cobertura; y para todos los demás n , k × b ⁿ − 1 tiene factores algebraicos. (Por ejemplo, b = 19, k = 144, entonces si n es impar, entonces k × b ⁿ − 1 es divisible por 5, si n es par, entonces k × b ⁿ − 1 puede factorizarse como (12×19 ^{n /2} − 1) × (12×19 ^{n /2} + 1))

En la siguiente lista, solo consideramos aquellos números enteros positivos k tales que mcd( k − 1, b − 1) = 1, y todo número entero n debe ser ≥ 1.

Nota: los k -valores que son múltiplos de b y donde k −1 no es primo se incluyen en las conjeturas (y se incluyen en los k restantes con color rojo si no se conocen primos para estos k -valores) pero se excluyen de las pruebas (por lo tanto, nunca deben ser el k de "los 5 primos más grandes encontrados"), ya que dichos k -valores tendrán el mismo primo que k / b .

El número de Riesel más pequeño conjeturado en base n es (comienza con n = 2)

509203, 63064644938, 9, 346802, 84687, 408034255082, 14, 4, 10176, 862, 25, 302, 4, 36370321851498, 9, 86, 246, 144, 8, 560, 4461, 476, 4, 36, 149, 8, 144, 4, 1369, 134718, 10, 16, 6, 287860, 4, 7772, 13, 4, 81, 8, 15137, 672, 4, 22564, 8177, 14, 3226, 36, 16, 64, 900, 5392, 4, 6852, 20, 144, 105788, 4, 121, 13484, 8, 187258666, 9, ... (secuencia A273987 en la OEIS )

Véase también

• Portal de matemáticas

• Número de Sierpinski
• Número de Woodall
• Matemáticas experimentales
• BOINC
• Red principal

Referencias

1. Riesel, Hans (1956). "Några stora primtal". Elementos . 39 : 258–260.
2. "Las estadísticas del problema del Riesel". PrimeGrid.
3. "Las estadísticas del problema Riesel". PrimeGrid . Archivado desde el original el 15 de enero de 2024 . Consultado el 15 de enero de 2024 .
4. "Problema 29.- Números de Brier".
5. "Conjeturas y pruebas de Riesel".
6. "Conjeturas de Riesel y pruebas de potencias de 2".

Fuentes

• Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números . Berlín: Springer-Verlag . pág. 120. ISBN. 0-387-20860-7.
• Ribenboim, Paulo (1996). El nuevo libro de registros de números primos . Nueva York: Springer-Verlag . pp. 357–358. ISBN . 0-387-94457-5.

Enlaces externos

• Red principal
• El problema del Riesel: definición y situación
• The Prime Glossary: ​​número de Riesel
• Lista de primos de la forma: k*2^n-1, k<300
• Lista de números primos de la forma: k*2^n-1, k<300, Proyecto Riesel Búsqueda de primos
• Base de datos Prime de Riesel y Proth