Problema de Kadison-Singer

Extensión única de estados puros en espacios de Hilbert

En matemáticas , el problema de Kadison-Singer , planteado en 1959, era un problema de análisis funcional sobre si ciertas extensiones de ciertos funcionales lineales en ciertas álgebras C* eran únicas. La unicidad se demostró en 2013.

La afirmación surgió del trabajo sobre los fundamentos de la mecánica cuántica realizado por Paul Dirac en la década de 1940 y fue formalizada en 1959 por Richard Kadison e Isadore Singer . ^[1] Posteriormente se demostró que el problema era equivalente a numerosos problemas abiertos en matemáticas puras, matemáticas aplicadas, ingeniería y ciencias de la computación. ^{[2] [3]} Kadison, Singer y la mayoría de los autores posteriores creyeron que la afirmación era falsa, ^{[2] [3] pero, en 2013,} Adam Marcus , Daniel Spielman y Nikhil Srivastava demostraron que era cierta , ^{[4] quienes recibieron el} Premio Pólya 2014 por el logro.

La solución fue posible gracias a una reformulación proporcionada por Joel Anderson, quien demostró en 1979 que su "conjetura de pavimentación", que sólo involucra operadores en espacios de Hilbert de dimensión finita, es equivalente al problema de Kadison-Singer. Nik Weaver proporcionó otra reformulación en un entorno de dimensión finita, y esta versión se demostró verdadera utilizando polinomios aleatorios. ^[5]

Formulación original

Consideremos el espacio de Hilbert separable ℓ 2 y dos C*-álgebras relacionadas: el álgebra de todos los operadores lineales continuos de ℓ ² a ℓ ² , y el álgebra de todos los operadores lineales continuos diagonales de ℓ ² a ℓ ² . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle D}$

Un estado en un C*-álgebra es un funcional lineal continuo tal que (donde denota la identidad multiplicativa del álgebra ) y para cada . Un estado de este tipo se denomina puro si es un punto extremal en el conjunto de todos los estados en (es decir, si no se puede escribir como una combinación convexa de otros estados en ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi (I)=1}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varphi (T)\geq 0}$ ${\displaystyle T\geq 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Por el teorema de Hahn-Banach , cualquier funcional en puede extenderse a . Kadison y Singer conjeturaron que, para el caso de estados puros, esta extensión es única. Es decir, el problema de Kadison-Singer consistía en probar o refutar el siguiente enunciado: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$

A cada estado puro en existe un estado único en que se extiende . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varphi }$

Esta afirmación es de hecho cierta.

Reformulación de la conjetura de pavimentación

El problema de Kadison-Singer tiene una solución positiva si y sólo si la siguiente "conjetura de pavimentación" es verdadera: ^[6]

Para cada existe un número natural tal que se cumple lo siguiente: para cada operador lineal en el espacio de Hilbert -dimensional con ceros en la diagonal existe una partición de en conjuntos tal que ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}$

${\displaystyle \|P_{A_{j}}TP_{A_{j}}\|\leq \varepsilon \|T\|{\text{ for }}j=1,\ldots ,k.}$

Aquí denota la proyección ortogonal sobre el espacio abarcado por los vectores unitarios estándar correspondientes a los elementos de , de modo que la matriz de se obtiene a partir de la matriz de reemplazando todas las filas y columnas que no corresponden a los índices en por 0. La norma de la matriz es la norma espectral , es decir, la norma del operador con respecto a la norma euclidiana en . ${\displaystyle P_{A_{j}}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle P_{A_{j}}TP_{A_{j}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Tenga en cuenta que en esta declaración, solo puede depender de , no de . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n}$

Declaración de discrepancia equivalente

La siguiente afirmación de " discrepancia ", nuevamente equivalente al problema de Kadison-Singer debido al trabajo previo de Nik Weaver, ^[7] fue demostrada por Marcus/Spielman/Srivastava utilizando una técnica de polinomios aleatorios:

Supóngase que se dan vectores con (la matriz identidad) y para todo . Entonces existe una partición de en dos conjuntos y tal que ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{m}\in \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}u_{i}u_{i}^{*}=I}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \|u_{i}\|_{2}^{2}\leq \delta }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$

${\displaystyle \left\|\sum _{i\in S_{j}}u_{i}u_{i}^{*}\right\|\leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}{\text{ for }}j=1,2.}$

Esta afirmación implica lo siguiente:

Supongamos que se dan vectores con para todos y ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \|v_{i}\|_{2}^{2}\leq \alpha }$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\langle v_{i},x\rangle ^{2}=1\ {\text{ for all }}x\in \mathbb {R} ^{d}{\text{ with }}\|x\|=1.}$

Entonces existe una partición de en dos conjuntos y tal que, para : ${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle j=1,2}$

${\displaystyle \left|\sum _{i\in S_{j}}\langle v_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}\ {\text{ for all }}x\in \mathbb {R} ^{d}{\text{ with }}\|x\|=1.}$

En este caso, la "discrepancia" se hace visible cuando α es lo suficientemente pequeño: la forma cuadrática en la esfera unitaria se puede dividir en dos partes aproximadamente iguales, es decir, partes cuyos valores no difieren mucho de 1/2 en la esfera unitaria. En esta forma, el teorema se puede utilizar para derivar enunciados sobre ciertas particiones de grafos. ^[5]

Referencias

1. Kadison, R. ; Singer, I. (1959). "Extensiones de estados puros". American Journal of Mathematics . 81 (2): 383–400. doi :10.2307/2372748. JSTOR  2372748. MR  0123922.
2. Casazza, PG; Fickus, M.; Tremain, JC; Weber, E. (2006). "El problema de Kadison-Singer en matemáticas e ingeniería: una explicación detallada". Teoría de operadores, álgebras de operadores y aplicaciones . Matemáticas contemporáneas. Vol. 414. Providence, RI: American Mathematical Society. págs. 299–355. arXiv : math/0510024 . doi :10.1090/conm/414/07820. ISBN . 9780821839232.Señor 2277219  .
3. Casazza, Peter G. (2015). "Consecuencias de la solución de Marcus/Spielman/Stivastava al problema de Kadison-Singer". arXiv : 1407.4768 [math.FA].
4. Marcus, Adam ; Spielman, Daniel A. ; Srivastava, Nikhil (2013). "Familias entrelazadas II: Polinomios característicos mixtos y el problema de Kadison-Singer". arXiv : 1306.3969 [math.CO].
5. Srivastava, Nikhil (11 de julio de 2013). "Discrepancia, gráficos y el problema de Kadison-Singer". Ventanas a la teoría .
6. Anderson, Joel (1979). "Restricciones y representaciones de estados en álgebras C∗". Transactions of the American Mathematical Society . 249 (2): 303–329. doi :10.2307/1998793. JSTOR  1998793. MR  0525675.
7. Weaver, Nik (2004). "El problema de Kadison-Singer en la teoría de la discrepancia". Matemáticas discretas . 278 (1–3): 227–239. arXiv : math/0209078 . doi :10.1016/S0012-365X(03)00253-X. S2CID  5304663.

Enlaces externos

• Nicholas JA Harvey (11 de julio de 2013). "Introducción al problema de Kadison-Singer y la conjetura de Paving" (PDF) .