En análisis numérico , un problema burdo es un sistema auxiliar de ecuaciones que se utiliza en un método iterativo para la solución de un sistema de ecuaciones mayor dado. Un problema burdo es básicamente una versión del mismo problema con una resolución menor, que conserva sus características esenciales, pero con menos variables. El propósito del problema burdo es propagar la información a lo largo de todo el problema de manera global.
En los métodos multigrid para ecuaciones diferenciales parciales , el problema burdo se obtiene típicamente como una discretización de la misma ecuación en una cuadrícula más burda (normalmente, en métodos de diferencias finitas ) o mediante una aproximación de Galerkin en un subespacio , llamado espacio burdo . En los métodos de elementos finitos , se utiliza típicamente la aproximación de Galerkin, con el espacio burdo generado por elementos más grandes en el mismo dominio . Normalmente, el problema burdo corresponde a una cuadrícula que es dos o tres veces más burda.
Los espacios burdos (modelo burdo, modelo sustituto ) son la columna vertebral de los algoritmos y metodologías que explotan el concepto de mapeo espacial para resolver problemas de diseño y modelado de ingeniería computacionalmente intensivos. [1] [2] [3 ] [4] [5] [6] [7] [8] En el mapeo espacial , se utiliza un modelo fino o de alta fidelidad (alta resolución, computacionalmente intensivo) para calibrar o recalibrar, o actualizar sobre la marcha, como en el mapeo espacial agresivo, un modelo burdo adecuado. Un modelo burdo actualizado a menudo se denomina modelo sustituto o modelo burdo mapeado. Permite un aprovechamiento rápido, pero más preciso, del modelo burdo subyacente en la exploración de diseños o en la optimización del diseño.
En los métodos de descomposición de dominios , la construcción de un problema burdo sigue los mismos principios que en los métodos multimalla, pero el problema más burdo tiene muchas menos incógnitas, generalmente solo una o unas pocas incógnitas por subdominio o subestructura, y el espacio burdo puede ser de un tipo bastante diferente al espacio de elementos finitos original, por ejemplo, constantes por partes con promedio en la descomposición de dominios de equilibrio o construidas a partir de funciones de energía mínima en BDDC . Sin embargo, la construcción del problema burdo en FETI es inusual en el sentido de que no se obtiene como una aproximación de Galerkin del problema original.
En los métodos multicuadrícula algebraica y en los métodos de agregación iterativa en economía matemática y cadenas de Markov , el problema burdo generalmente se obtiene mediante la aproximación de Galerkin en un subespacio. En economía matemática, el problema burdo se puede obtener mediante la agregación de productos o industrias en una descripción burda con menos variables. En las cadenas de Markov, una cadena burda de Markov se puede obtener mediante la agregación de estados.
La velocidad de convergencia de los métodos de descomposición de dominios y múltiples mallas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas sin un problema burdo se deteriora a medida que disminuye el paso de malla (o disminuye el tamaño de los elementos, o aumenta el número de subdominios o subestructuras), lo que hace que un problema burdo sea necesario para un algoritmo escalable .