matemáticas de lotería

Las matemáticas de lotería se utilizan para calcular las probabilidades de ganar o perder un juego de lotería . Se basa principalmente en la combinatoria , particularmente en la forma doce y combinaciones sin reemplazo .

Probabilities of winning or losing a lottery game

Eligiendo 6 de 49

En un juego típico de 6/49, cada jugador elige seis números distintos de un rango del 1 al 49. Si los seis números de un boleto coinciden con los números sorteados en la lotería, el poseedor del boleto es el ganador del premio mayor, independientemente del orden de los números. La probabilidad de que esto suceda es de 1 entre 13.983.816.

Las posibilidades de ganar se pueden demostrar de la siguiente manera: El primer número sorteado tiene una probabilidad de acertar de 1 entre 49. Cuando llega el sorteo del segundo número, ahora solo quedan 48 bolas en la bolsa, porque las bolas se extraen sin reemplazo . Así que ahora hay una probabilidad de 1 entre 48 de predecir este número.

Así, para cada una de las 49 formas de elegir el primer número hay 48 formas diferentes de elegir el segundo. Esto significa que la probabilidad de predecir correctamente 2 números extraídos del 49 en el orden correcto se calcula como 1 entre 49 × 48. Al sacar el tercer número sólo hay 47 formas de elegir el número; pero podríamos haber llegado a este punto de cualquiera de las 49 × 48 formas, por lo que las posibilidades de predecir correctamente 3 números extraídos de 49, nuevamente en el orden correcto, son 1 en 49 × 48 × 47. Esto continúa hasta que haya llegado el sexto número. se ha extraído, dando el cálculo final, 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44, que también se puede escribir como o 49 factorial dividido por 43 factorial o FACT(49)/FACT(43) o simplemente PERM(49,6 ). ${\displaystyle {49! \over (49-6)!}}$

608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000 / 60415263063373835637355132068513997507264512000000000 = 10 068347520

Esto equivale a 10.068.347.520, que es mucho mayor que los ~14 millones indicados anteriormente.

Perm(49,6)=10068347520 y 49 nPr 6 =10068347520.

Sin embargo, el orden de los 6 números no es significativo para el pago. Es decir, si un boleto tiene los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, gana siempre que se extraigan todos los números del 1 al 6, sin importar el orden en que salgan. En consecuencia, dada cualquier combinación De 6 números, hay 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 . o 720 órdenes en las que se pueden sortear. Dividiendo 10,068,347,520 por 720 se obtiene 13,983,816, también escrito como , o COMBIN(49,6) o 49 nCr 6 o más generalmente como ${\displaystyle {49! \over 6!*(49-6)!}}$

${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$, donde n es el número de alternativas y k es el número de opciones. Más información está disponible en coeficiente binomial y coeficiente multinomial .

Esta función se llama función de combinación , COMBIN(n,k) . En el resto de este artículo usaremos la notación . "Combinación" significa el grupo de números seleccionados, independientemente del orden en que sean sorteados. Una combinación de números suele presentarse en orden ascendente. Al final se presenta un eventual séptimo número sorteado, la reserva o bonificación. ${\displaystyle {n \choose k}}$

Un método alternativo para calcular las probabilidades es observar que la probabilidad de que la primera bola corresponda a una de las seis elegidas es 6/49; la probabilidad de que la segunda bola corresponda a una de las cinco restantes elegidas es 5/48; etcétera. Esto produce una fórmula final de

${\displaystyle {n \choose k}={49 \choose 6}={49 \over 6}*{48 \over 5}*{47 \over 4}*{46 \over 3}*{45 \over 2}*{44 \over 1}}$

A menudo se extrae una séptima bola como bola de reserva; en el pasado, solo había una segunda oportunidad de acertar 5+1 números con 6 números jugados.

Probabilidades de obtener otras posibilidades al elegir 6 de 49

Se debe dividir el número de combinaciones que producen el resultado dado por el número total de combinaciones posibles (por ejemplo, ). El numerador equivale al número de formas de seleccionar los números ganadores multiplicado por el número de formas de seleccionar los números perdedores. ${\displaystyle {49 \choose 6}=13,983,816}$

Para una puntuación de n (por ejemplo, si 3 opciones coinciden con tres de las 6 bolas extraídas, entonces n = 3), describe las probabilidades de seleccionar n números ganadores de los 6 números ganadores. Esto significa que hay 6 - n números perdedores, que se eligen de diferentes maneras entre los 43 números perdedores. El número total de combinaciones que dan ese resultado es, como se indicó anteriormente, el primer número multiplicado por el segundo. Por tanto la expresión es . ${\displaystyle {6 \choose n}}$ ${\displaystyle {43 \choose 6-n}}$ ${\displaystyle {6 \choose n}{43 \choose 6-n} \over {49 \choose 6}}$

Esto se puede escribir de forma general para todas las loterías como:

$${\displaystyle {K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

donde es el número de bolas de la lotería, es el número de bolas de un solo billete y es el número de bolas iguales de un billete ganador. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$

La generalización de esta fórmula se llama distribución hipergeométrica .

Esto da los siguientes resultados:

Cuando se extrae un séptimo número como número de bonificación, tenemos 49!/6!/1!/42!.=combin(49,6)*combin(49-6,1)=601304088 diferentes resultados posibles del sorteo.

Se esperaría obtener 3 de 6 o más una vez en aproximadamente 36,19 dibujos. Tenga en cuenta que se necesita una rueda de 3 o 6 de 163 combinaciones para estar seguro de obtener al menos una puntuación de 3/6.

1/p cambia cuando se juegan varias combinaciones distintas juntas. Se trata principalmente de ganar algo, no sólo el premio mayor.

Asegurarse de ganar el premio mayor

Sólo se conoce una forma de asegurarse ganar el premio mayor. Esto implica comprar al menos un billete de lotería por cada combinación de números posible. Por ejemplo, uno tiene que comprar 13.983.816 boletos diferentes para asegurarse de ganar el premio mayor en un juego de 6/49.

Las organizaciones de lotería cuentan con leyes, normas y salvaguardias para evitar que los jugadores ejecuten dicha operación. Además, simplemente ganar el premio mayor comprando todas las combinaciones posibles no garantiza alcanzar el punto de equilibrio ni obtener ganancias.

Si es la probabilidad de ganar; el costo de un boleto; el costo de obtener un billete (por ejemplo, incluida la logística); costos únicos de la operación (como la configuración y realización de la operación); entonces el premio mayor debe contener al menos ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c_{t}}$ ${\displaystyle c_{l}}$ ${\displaystyle c_{f}}$ ${\displaystyle m_{j}}$

${\displaystyle m_{j}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}}$

tener la oportunidad de al menos alcanzar el punto de equilibrio.

El punto teórico de "posibilidad de alcanzar el punto de equilibrio" anterior se compensa ligeramente con la suma de los premios menores también incluidos en todos los billetes de lotería: ${\displaystyle \sum _{i}{}m_{i}}$

${\displaystyle m_{j}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}m_{i}}$

Aún así, incluso si se cumple la relación anterior, no garantiza el punto de equilibrio. El pago depende del número de boletos ganadores para todos los premios , resultando en la relación ${\displaystyle n_{x}}$

${\displaystyle {\frac {m_{j}}{n_{j}}}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}{\frac {m_{i}}{n_{i}}}}$

Probablemente en las únicas operaciones exitosas conocidas ^[1] el umbral para ejecutar una operación se fijó en tres veces el costo de los boletos solos por razones desconocidas.

${\displaystyle m_{j}\geq 3\times {\frac {c_{t}}{p}}}$

Es decir

${\displaystyle {\frac {n_{j}p}{c_{t}}}\left(c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}{\frac {m_{i}}{n_{i}}}\right)\ll 3}$

Sin embargo, esto no elimina todos los riesgos de no obtener beneficios. El éxito de las operaciones dependía aún de un poco de suerte. Además, en una operación falló la logística y no se pudieron conseguir todas las combinaciones. Esto añadió el riesgo de ni siquiera ganar el premio mayor.

Powerballs y bolas de bonificación

Muchas loterías tienen un Powerball (o "bola de bonificación"). Si el powerball se extrae de un grupo de números diferentes a los de la lotería principal, las probabilidades se multiplican por el número de powerballs. Por ejemplo, en la lotería 6 de 49, dados 10 números de powerball, entonces las probabilidades de obtener una puntuación de 3 y el powerball serían de 1 entre 56,66 × 10, o 566,6 (la probabilidad se dividiría por 10, para dar una cifra exacta). valor de ). Otro ejemplo de este tipo de juego es Mega Millions , aunque con diferentes probabilidades de ganar el premio mayor. ${\textstyle {\frac {8815}{4994220}}}$

Cuando se extrae más de 1 powerball de un grupo de bolas separado para la lotería principal (por ejemplo, en el juego Euromillones ), las probabilidades de los diferentes puntajes posibles del powerball se calculan utilizando el método que se muestra en la sección " otros puntajes " anterior. (en otras palabras, las powerballs son como una minilotería en sí mismas), y luego se multiplican por las probabilidades de lograr el puntaje requerido en la lotería principal.

Si el powerball se extrae del mismo grupo de números que la lotería principal, entonces, para una puntuación objetivo determinada, el número de combinaciones ganadoras incluye el powerball. Para los juegos basados ​​en la lotería canadiense (como la lotería del Reino Unido ), después de que se extraen las 6 bolas principales, se extrae una bola extra del mismo grupo de bolas, y esta se convierte en la powerball (o "bola extra") . Se otorga un premio extra por acertar 5 bolas y la bola extra. Como se describe en la sección " otras puntuaciones " anterior, la cantidad de formas en que uno puede obtener una puntuación de 5 con un solo boleto es . Dado que el número de bolas restantes es 43 y al boleto le queda 1 número no coincidente, ${\textstyle {6 \choose 5}{43 \choose 1}=258}$1/43de estas 258 combinaciones coincidirá con la siguiente bola extraída (la powerball), quedando 258/43 = 6 formas de conseguirlo. Por lo tanto, las probabilidades de obtener una puntuación de 5 y la powerball son . ${\textstyle {6 \over {49 \choose 6}}={1 \over 2,330,636}}$

De las 258 combinaciones que coinciden con 5 de las 6 bolas principales, en 42/43 de ellas el número restante no coincidirá con el powerball, dando probabilidades de obtener una puntuación de 5 sin coincidir con el powerball. ${\textstyle {{258\cdot {\frac {42}{43}}} \over {49 \choose 6}}={\frac {3}{166,474}}\approx 1.802\times 10^{-5}}$

Utilizando el mismo principio, las probabilidades de obtener una puntuación de 2 y la powerball son para la puntuación de 2 multiplicada por la probabilidad de que uno de los cuatro números restantes coincida con la bola de bonificación, que es 4/43 . Dado que , la probabilidad de obtener la puntuación de 2 y la bola de bonificación es , probabilidades decimales aproximadas de 1 entre 81,2. ${\textstyle {6 \choose 2}{43 \choose 4}=1,\!851,\!150}$ ${\textstyle 1,851,150\cdot {\frac {4}{43}}=172,\!200}$ ${\textstyle {\frac {172,200}{49 \choose 6}}={\frac {1025}{83237}}=1.231\%}$

La fórmula general para emparejar bolas en una lotería selecta con una bola extra del grupo de bolas es: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\frac {{\frac {K-B}{N-K}}{K \choose B}{N-K \choose K-B}}{N \choose K}}}$$

La fórmula general para emparejar bolas en una lotería selecta con cero bolas de bonificación del grupo de bolas es: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {N-K-K+B \over N-K}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

La fórmula general para emparejar bolas en una lotería selecta con una bola de bonificación de un grupo de bolas separado es: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {1 \over P}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

La fórmula general para emparejar bolas en una lotería selecta sin bola de bonificación de un grupo de bolas separado es: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {P-1 \over P}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

Número mínimo de entradas para un partido

Es un problema difícil (y a menudo abierto) calcular la cantidad mínima de boletos que uno necesita comprar para garantizar que al menos uno de estos boletos coincida con al menos 2 números. En la lotería 5 de 90, el número mínimo de boletos que pueden garantizar un boleto con al menos 2 aciertos es 100. ^[2]

Resultados de la teoría de la información.

Como espacio de probabilidad discreto , la probabilidad de cualquier resultado de lotería en particular es atómica , lo que significa que es mayor que cero. Por lo tanto, la probabilidad de cualquier evento es la suma de las probabilidades de los resultados del evento. Esto facilita el cálculo de cantidades de interés a partir de la teoría de la información . Por ejemplo, el contenido informativo de cualquier evento es fácil de calcular mediante la fórmula

$${\displaystyle \operatorname {I} (E):=-\log {\left[\Pr {\left(E\right)}\right]}=-\log {\left(P\right)}.}$$

En particular, el contenido de información del resultado de una variable aleatoria discreta es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}(x):=-\log {\left[p_{X}{\left(x\right)}\right]}=\log {\left({\frac {1}{p_{X}{\left(x\right)}}}\right)}.}$$

Por ejemplo, ganar en el ejemplo § Elegir 6 de 49 arriba es una variable aleatoria distribuida por Bernoulli con un ${\displaystyle X}$1/13.983.816posibilidades de ganar ("éxito") Escribimos con y . El contenido informativo de ganar es ${\textstyle X\sim \mathrm {Bernoulli} \!\left(p\right)=\mathrm {B} \!\left(1,p\right)}$ ${\textstyle p={\tfrac {1}{13,983,816}}}$ ${\textstyle q={\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}}$

$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}({\text{win}})=-\log _{2}{p_{X}{({\text{win}})}}=-\log _{2}\!{\tfrac {1}{13,983,816}}\approx 23.73725}$$

shannonsfragmentoslas unidades de información

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{X}({\text{lose}})&=-\log _{2}{p_{X}{({\text{lose}})}}=-\log _{2}\!{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\\&\approx 1.0317\times 10^{-7}{\text{ shannons}}.\end{aligned}}}$$

La entropía de la información de una distribución de probabilidad de lotería también es fácil de calcular como el valor esperado del contenido de la información.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {H} (X)&=\sum _{x}{-p_{X}{\left(x\right)}\log {p_{X}{\left(x\right)}}}\ &=\sum _{x}{p_{X}{\left(x\right)}\operatorname {I} _{X}(x)}\\&{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \mathbb {E} {\left[\operatorname {I} _{X}(x)\right]}\end{alignedat}}}$$

A menudo, la variable aleatoria de interés en la lotería es un ensayo de Bernoulli . En este caso, se puede utilizar la función de entropía de Bernoulli . Usando la representación de ganar la lotería 6 de 49, la entropía de Shannon de 6 de 49 arriba es ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} (X)&=-p\log(p)-q\log(q)=-{\tfrac {1}{13,983,816}}\log \!{\tfrac {1}{13,983,816}}-{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\log \!{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\\&\approx 1.80065\times 10^{-6}{\text{ shannons.}}\end{aligned}}}$

Referencias

1. El hombre que ganó la lotería 14 veces [1]
2. Z. Füredi , GJ Székely y Z. Zubor (1996). "Sobre el problema de la lotería". Revista de diseños combinatorios . 4 (1): 5–10. doi :10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:1<5::aid-jcd2>3.3.co;2-w.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)[2]

enlaces externos

• Análisis de Euler de la lotería genovesa - Convergencia (agosto de 2010), Asociación Matemática de América
• Matemáticas de Lotería – Editorial INFAROM
• 13.983.816 y la Lotería: vídeo de YouTube con James Clewett, Numberphile, marzo de 2012