Reciprocidad de Helmholtz

Principio en óptica que relaciona los rayos de luz y sus rayos inversos

El principio de reciprocidad de Helmholtz describe cómo un rayo de luz y su rayo inverso encuentran fenómenos ópticos coincidentes, como reflexiones, refracciones y absorciones en un medio pasivo o en una interfaz. No se aplica a medios móviles, no lineales o magnéticos.

Por ejemplo, la luz entrante y saliente se pueden considerar como inversiones entre sí, ^[1] sin afectar el resultado de la función de distribución de reflectancia bidireccional (BRDF) ^[2] . Si la luz se midiera con un sensor y esa luz se reflejara en un material con una BRDF que obedece al principio de reciprocidad de Helmholtz, se podrían intercambiar el sensor y la fuente de luz y la medición del flujo permanecería igual.

En el esquema de gráficos por computadora de iluminación global , el principio de reciprocidad de Helmholtz es importante si el algoritmo de iluminación global invierte las trayectorias de luz (por ejemplo , trazado de rayos versus trazado de trayectoria de luz clásico).

Física

El principio de reversión-reciprocidad de Stokes-Helmholtz ^{[3] [4] [5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [1] [14] [ 15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ citas excesivas ]} fue enunciado en parte por Stokes (1849) ^[3] y con referencia a la polarización en la página 169 ^[4] del Handbuch der physiologischen Optik de Hermann Helmholtz de 1856 citado por Gustav Kirchhoff ^[8] y por Max Planck . ^[13]

Tal como lo citó Kirchhoff en 1860, el principio se traduce de la siguiente manera:

Un rayo de luz que procede del punto 1 llega al punto 2 después de sufrir cualquier número de refracciones, reflexiones, etc. En el punto 1, tómense dos planos perpendiculares cualesquiera a ₁ , b ₁ en la dirección del rayo; y dividan las vibraciones del rayo en dos partes, una en cada uno de estos planos. Tómense planos semejantes a ₂ , b ₂ en el rayo en el punto 2; entonces se puede demostrar la siguiente proposición. Si cuando la cantidad de luz i polarizada en el plano a ₁ procede de 1 en la dirección del rayo dado, esa parte k de la misma de luz polarizada en a ₂ llega a 2, entonces, a la inversa, si la cantidad de luz i polarizada en a ₂ procede de 2, la misma cantidad de luz k polarizada en a ₁ [texto publicado por Kirchhoff aquí corregido por el editor de Wikipedia para que coincida con el texto de Helmholtz de 1867] llegará a 1. ^[8]

En términos simples, en condiciones adecuadas, el principio establece que la fuente y el punto de observación pueden cambiarse sin cambiar la intensidad medida. Intuitivamente, "si puedo verte, tú puedes verme". Al igual que los principios de la termodinámica, en condiciones adecuadas, este principio es lo suficientemente confiable como para usarlo como una verificación del correcto desempeño de los experimentos, en contraste con la situación habitual en la que los experimentos son pruebas de una ley propuesta. ^{[1] [12]}

En su demostración magistral ^[23] de la validez de la ley de Kirchhoff de igualdad de la emisividad radiativa y la absortividad , ^[24] Planck hace un uso repetido y esencial del principio de reciprocidad de Stokes-Helmholtz. Rayleigh enunció la idea básica de reciprocidad como consecuencia de la linealidad de la propagación de pequeñas vibraciones, la luz que consiste en vibraciones sinusoidales en un medio lineal. ^{[9] [10] [11] [12]}

Cuando hay campos magnéticos en la trayectoria del rayo, el principio no se aplica. ^[4] La desviación del medio óptico de la linealidad también provoca la desviación de la reciprocidad de Helmholtz, así como la presencia de objetos en movimiento en la trayectoria del rayo.

La reciprocidad de Helmholtz se refería originalmente a la luz. Se trata de una forma particular de electromagnetismo que puede denominarse radiación de campo lejano. Para ello, los campos eléctrico y magnético no necesitan descripciones distintas, porque se propagan alimentándose mutuamente de manera uniforme. Por lo tanto, el principio de Helmholtz es un caso especial de reciprocidad electromagnética en general descrito de manera más sencilla , que se describe mediante explicaciones distintas de los campos eléctricos y magnéticos en interacción. El principio de Helmholtz se basa principalmente en la linealidad y la superposición del campo de luz, y tiene análogos cercanos en campos de propagación lineal no electromagnéticos, como el sonido. Fue descubierto antes de que se conociera la naturaleza electromagnética de la luz. ^{[9] [10] [11] [12]}

El teorema de reciprocidad de Helmholtz ha sido probado rigurosamente de varias maneras, ^{[25] [26] [27]} generalmente haciendo uso de la simetría de inversión temporal de la mecánica cuántica . Como estas pruebas matemáticamente más complicadas pueden restarle simplicidad al teorema, AP Pogany y PS Turner lo han demostrado en solo unos pocos pasos utilizando una serie de Born . ^[28] Suponiendo una fuente de luz en un punto A y un punto de observación O, con varios puntos de dispersión entre ellos, la ecuación de Schrödinger puede usarse para representar la función de onda resultante en el espacio: ${\displaystyle r_{1},r_{2},...r}$

${\displaystyle (\bigtriangledown ^{2}+4\pi K^{2})\Psi (\mathbf {r,r_{A}} )=-4\pi K^{2}V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r,r_{A}} )+\delta (\mathbf {r-r_{A}} )}$

Aplicando una función de Green , la ecuación anterior se puede resolver para la función de onda en forma integral (y por lo tanto iterativa):

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r,r_{A}} )=G(\mathbf {r,r_{A}} )-4\pi ^{2}\int G(\mathbf {r,r'} V(\mathbf {r'} \Psi (\mathbf {r',r_{A}} )d\mathbf {r'} }$

dónde

${\displaystyle G(\mathbf {r,r'} )=-{\frac {\exp(2\pi iK|\mathbf {r-r'} |)}{|\mathbf {r-r'} |}}}$.

A continuación, es válido suponer que la solución dentro del medio de dispersión en el punto O puede aproximarse mediante una serie de Born, haciendo uso de la aproximación de Born en la teoría de la dispersión. Al hacerlo, la serie puede iterarse de la manera habitual para generar la siguiente solución integral:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r_{O},r_{A}} )=G(\mathbf {r_{O},r_{A}} )-4\pi ^{2}\int G(\mathbf {r_{O},r_{1}} )V(\mathbf {r_{1}} )G(\mathbf {r_{1},r_{A}} )d\mathbf {r_{1}} }$

${\displaystyle +(-4\pi ^{2})^{2}\int d\mathbf {r_{1}} \int G(\mathbf {r_{O},r_{1}} )G(\mathbf {r_{1},r_{2}} )V(\mathbf {r_{1}} )V(\mathbf {r_{2}} )G(\mathbf {r_{2},r_{A}} )d\mathbf {r_{2}} }$

${\displaystyle +(-4\pi ^{2})^{3}\int d\mathbf {r_{1}} \int d\mathbf {r_{2}} \int G(\mathbf {r_{O},r_{1}} )G(\mathbf {r_{1},r_{2}} )G(\mathbf {r_{2},r_{3}} )V(\mathbf {r_{1}} )V(\mathbf {r_{2}} )V(\mathbf {r_{3}} )G(\mathbf {r_{3},r_{A}} )d\mathbf {r_{3}} }$

${\displaystyle +...}$

Observando nuevamente la forma de la función de Green, es evidente que cambiar y en la forma anterior no cambiará el resultado; es decir, , que es el enunciado matemático del teorema de reciprocidad: cambiar la fuente de luz A y el punto de observación O no altera la función de onda observada. ${\displaystyle \mathbf {r_{A}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r_{O}} }$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r_{A},r_{O}} )=\Psi (\mathbf {r_{O},r_{A}} )}$

Aplicaciones

Una implicación simple pero importante de este principio de reciprocidad es que cualquier luz dirigida a través de una lente en una dirección (desde el objeto al plano de la imagen) es ópticamente igual a su conjugada, es decir, la luz que se dirige a través de la misma configuración pero en la dirección opuesta. A un electrón que se enfoca a través de cualquier serie de componentes ópticos no le "importa" de qué dirección proviene; siempre que le sucedan los mismos eventos ópticos, la función de onda resultante será la misma. Por esa razón, este principio tiene aplicaciones importantes en el campo de la microscopía electrónica de transmisión (MET) . La noción de que los procesos ópticos conjugados producen resultados equivalentes permite al usuario del microscopio comprender mejor y tener una flexibilidad considerable en las técnicas que involucran difracción de electrones , patrones de Kikuchi , ^[29] imágenes de campo oscuro , ^[28] y otras.

Una advertencia importante a tener en cuenta es que en una situación en la que los electrones pierden energía después de interactuar con el medio de dispersión de la muestra, no hay simetría de inversión temporal. Por lo tanto, la reciprocidad solo se aplica verdaderamente en situaciones de dispersión elástica . En el caso de dispersión inelástica con pequeña pérdida de energía, se puede demostrar que la reciprocidad se puede utilizar para aproximar la intensidad (en lugar de la amplitud de onda). ^[28] Por lo tanto, en muestras muy gruesas o muestras en las que domina la dispersión inelástica, los beneficios de utilizar la reciprocidad para las aplicaciones TEM mencionadas anteriormente ya no son válidos. Además, se ha demostrado experimentalmente que la reciprocidad se aplica en un TEM en las condiciones adecuadas, ^[28] pero la física subyacente del principio dicta que la reciprocidad solo puede ser verdaderamente exacta si la transmisión de rayos ocurre solo a través de campos escalares, es decir, sin campos magnéticos. Por lo tanto, podemos concluir que las distorsiones de reciprocidad debidas a los campos magnéticos de las lentes electromagnéticas en TEM pueden ignorarse en condiciones de funcionamiento típicas. ^[30] Sin embargo, los usuarios deben tener cuidado de no aplicar la reciprocidad a las técnicas de obtención de imágenes magnéticas, TEM de materiales ferromagnéticos o situaciones TEM ajenas sin una consideración cuidadosa. En general, las piezas polares para TEM se diseñan utilizando análisis de elementos finitos de los campos magnéticos generados para garantizar la simetría.  

Los sistemas de lentes objetivo magnéticos se han utilizado en TEM para lograr una resolución a escala atómica mientras se mantiene un entorno libre de campos magnéticos en el plano de la muestra, ^[31] pero el método para hacerlo aún requiere un gran campo magnético por encima (y por debajo) de la muestra, anulando así cualquier efecto de mejora de reciprocidad que uno podría esperar. Este sistema funciona colocando la muestra entre las piezas polares delantera y trasera de la lente objetivo, como en un TEM ordinario, pero las dos piezas polares se mantienen en simetría especular exacta con respecto al plano de la muestra entre ellas. Mientras tanto, sus polaridades de excitación son exactamente opuestas, generando campos magnéticos que se cancelan casi perfectamente en el plano de la muestra. Sin embargo, dado que no se cancelan en ningún otro lugar, la trayectoria del electrón aún debe pasar a través de campos magnéticos.

La reciprocidad también se puede utilizar para comprender la diferencia principal entre TEM y la microscopía electrónica de transmisión de barrido (STEM) , que se caracteriza en principio por cambiar la posición de la fuente de electrones y el punto de observación. Esto es efectivamente lo mismo que invertir el tiempo en un TEM para que los electrones viajen en la dirección opuesta. Por lo tanto, en condiciones apropiadas (en las que se aplica la reciprocidad), el conocimiento de las imágenes TEM puede ser útil para tomar e interpretar imágenes con STEM.

Véase también

• Reciprocidad (electromagnetismo)

Referencias

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