principio de d'alembert

Declaración en mecánica clásica.

Traité de dynamique de Jean Le Rond d'Alembert , 1743. En él, el estudioso francés enunció el principio de la cantidad de movimiento, también conocido como "principio de D'Alembert".

Juan de Alembert (1717-1783)

El principio de d'Alembert , también conocido como principio de Lagrange-d'Alembert , es una declaración de las leyes clásicas fundamentales del movimiento. Lleva el nombre de su descubridor, el físico y matemático francés Jean le Rond d'Alembert , y del matemático italo-francés Joseph Louis Lagrange . El principio de d'Alembert generaliza el principio del trabajo virtual de sistemas estáticos a dinámicos mediante la introducción de fuerzas de inercia que, cuando se suman a las fuerzas aplicadas en un sistema, dan como resultado un equilibrio dinámico . ^{[1] [2]}

El principio de d'Alembert se puede aplicar en casos de restricciones cinemáticas que dependen de velocidades. ^{[1] : 92} El principio no se aplica a desplazamientos irreversibles, como la fricción por deslizamiento , y se requiere una especificación más general de la irreversibilidad. ^{[3] [4]}

Declaración del principio

El principio establece que la suma de las diferencias entre las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas masivas y las derivadas temporales de los momentos del propio sistema proyectados sobre cualquier desplazamiento virtual consistente con las limitaciones del sistema es cero. ^{[ se necesita aclaración ]} Así, en notación matemática, el principio de d'Alembert se escribe de la siguiente manera,

$${\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0,}$$

dónde:

• ${\displaystyle i}$es un número entero utilizado para indicar (mediante subíndice) una variable correspondiente a una partícula particular en el sistema,
• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$es la fuerza total aplicada (excluidas las fuerzas de restricción) sobre la -ésima partícula, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle m_{i}}$es la masa de la -ésima partícula, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$es la velocidad de la -ésima partícula, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$es el desplazamiento virtual de la -ésima partícula, consistente con las restricciones. ${\displaystyle i}$

La notación de puntos de Newton se utiliza para representar la derivada con respecto al tiempo. La ecuación anterior a menudo se denomina principio de d'Alembert, pero fue escrita por primera vez en esta forma variacional por Joseph Louis Lagrange . ^[5] La contribución de D'Alembert fue demostrar que en la totalidad de un sistema dinámico las fuerzas de restricción desaparecen. Es decir, las fuerzas generalizadas no necesitan incluir fuerzas restrictivas. Es equivalente al principio de mínima restricción de Gauss, algo más engorroso . ${\displaystyle \mathbf {Q} _{j}}$

Derivaciones

Caso general con masa variable.

El enunciado general del principio de D'Alembert menciona "las derivadas temporales de los momentos del sistema". Según la segunda ley de Newton, la primera derivada del momento es la fuerza. El momento de la -ésima masa es el producto de su masa y velocidad: ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=m_{i}\mathbf {v} _{i}}$$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}_{i}={\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}+m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}.}$$

En muchas aplicaciones, las masas son constantes y esta ecuación se reduce a

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}_{i}=m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}.}$$

Sin embargo, algunas aplicaciones implican cambios de masa (por ejemplo, cadenas que se enrollan o desenrollan) y en esos casos ambos términos y tienen que permanecer presentes, dando ${\displaystyle {\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}}$

$${\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}$$

Caso especial con masa constante.

Considere la ley de Newton para un sistema de partículas de masa constante . La fuerza total sobre cada partícula es ^[6] ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i},}$$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}}$son las fuerzas totales que actúan sobre las partículas del sistema,
• ${\displaystyle m_{i}\mathbf {a} _{i}}$son las fuerzas de inercia que resultan de las fuerzas totales.

Mover las fuerzas de inercia hacia la izquierda da una expresión que se puede considerar que representa un equilibrio cuasiestático, pero que en realidad es solo una pequeña manipulación algebraica de la ley de Newton: ^[6]

$${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}-m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {0} .}$$

Considerando el trabajo virtual , realizado por las fuerzas totales e inerciales juntas a través de un desplazamiento virtual arbitrario, del sistema se llega a una identidad cero, ya que las fuerzas involucradas suman cero para cada partícula. ^[6] ${\displaystyle \delta W}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$

$${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$$

La ecuación vectorial original podría recuperarse reconociendo que la expresión del trabajo debe ser válida para desplazamientos arbitrarios. Separando las fuerzas totales en fuerzas aplicadas, y fuerzas de restricción, se obtiene ^[6] ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$

$${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}$$

Si se supone que los desplazamientos virtuales arbitrarios están en direcciones ortogonales a las fuerzas restrictivas (lo cual no suele ser el caso, por lo que esta derivación funciona sólo para casos especiales), las fuerzas restrictivas no realizan ningún trabajo . Se dice que tales desplazamientos son consistentes con las restricciones. ^[7] Esto lleva a la formulación del principio de d'Alembert , que establece que la diferencia de fuerzas aplicadas y fuerzas de inercia para un sistema dinámico no realiza ningún trabajo virtual: ^[6] ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$

$${\displaystyle \delta W=\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}$$

También existe un principio correspondiente para sistemas estáticos llamado principio de trabajo virtual para fuerzas aplicadas .

Principio de fuerzas de inercia de D'Alembert

D'Alembert demostró que se puede transformar un cuerpo rígido en aceleración en un sistema estático equivalente añadiendo la llamada " fuerza de inercia " y el "par de inercia" o momento. La fuerza de inercia debe actuar a través del centro de masa y el par de inercia puede actuar en cualquier lugar. Entonces, el sistema puede analizarse exactamente como un sistema estático sometido a esta "fuerza y ​​momento de inercia" y a las fuerzas externas. La ventaja es que en el sistema estático equivalente se pueden tomar momentos respecto de cualquier punto (no sólo el centro de masa). Esto a menudo conduce a cálculos más simples porque cualquier fuerza (a su vez) puede eliminarse de las ecuaciones de momento eligiendo el punto apropiado sobre el cual aplicar la ecuación de momento (suma de momentos = cero). Incluso en el curso de Fundamentos de Dinámica y Cinemática de máquinas, este principio ayuda a analizar las fuerzas que actúan sobre un eslabón de un mecanismo cuando éste está en movimiento. En los libros de texto de dinámica de ingeniería, esto a veces se denomina principio de d'Alembert .

Algunos educadores advierten que los intentos de utilizar la mecánica inercial de D'Alembert llevan a los estudiantes a cometer frecuentes errores de señas. ^[8] Una posible causa de estos errores es el signo de las fuerzas de inercia . Las fuerzas inerciales se pueden utilizar para describir una fuerza aparente en un sistema de referencia no inercial que tiene una aceleración con respecto a un sistema de referencia inercial . En un sistema de referencia no inercial de este tipo, una masa que está en reposo y tiene aceleración cero en un sistema de referencia inercial, debido a que no actúan fuerzas sobre ella, seguirá teniendo una aceleración y parecerá una fuerza inercial aparente, pseudo o ficticia. actuar sobre ella: en esta situación la fuerza de inercia tiene signo menos. ^[8] ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle -\mathbf {a} }$ ${\displaystyle -m\mathbf {a} }$

Equilibrio dinámico

La forma de D'Alembert del principio de trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas de inercia es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Por tanto, el equilibrio dinámico de un sistema de cuerpos rígidos con coordenadas generalizadas requiere ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,}$$

fuerza aplicada generalizada ${\displaystyle \delta q_{j}}$ ${\displaystyle Q_{j}}$ ${\displaystyle Q_{j}^{*}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Formulación utilizando el Lagrangiano.

El principio de d'Alembert se puede reescribir en términos del lagrangiano L=TV del sistema como una versión generalizada del principio de Hamilton de la siguiente manera,

$${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,}$$

• ${\displaystyle \mathbf {r} =(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N})}$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$son las fuerzas aplicadas

• ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$es el desplazamiento virtual de la -ésima partícula, consistente con las restricciones ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$
• la curva crítica satisface las restricciones ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$

Con el lagrangiano

$${\displaystyle L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2},}$$

Generalización para la termodinámica.

En termodinámica se puede utilizar una extensión del principio de d'Alembert. ^[4] Por ejemplo, para un sistema termodinámico adiabáticamente cerrado descrito por un lagrangiano que depende de una sola entropía S y con masas constantes , como ${\displaystyle m_{i}}$

$${\displaystyle L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}-V(\mathbf {r} ,S),}$$

$${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,}$$

${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$

• ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+T\delta S=0}$
• ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}+T{\dot {S}}=0.}$

Aquí está la temperatura del sistema, están las fuerzas externas, están las fuerzas disipativas internas. Resulta en las ecuaciones de equilibrio mecánico y térmico: ^[4] ${\displaystyle T=\partial V/\partial S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$

$${\displaystyle m_{i}\mathbf {a} _{i}=-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{i}}}+\mathbf {C} _{i}+\mathbf {F} _{i},\;\;i=1,...,N\qquad \qquad T{\dot {S}}=-\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}.}$$

Para el clásico se recuperan el principio y las ecuaciones de d'Alembert. ${\displaystyle \delta S={\dot {S}}=0}$

Referencias

1. Lanczos, Cornelio (1964). Principios variacionales de la mecánica. Toronto, Prensa de la Universidad de Toronto. pag. 92.
2. d'Alembert, Jean le Rond (1743). Traité de dynamique. págs. 50–51.
3. Udwadia, FE; Kalaba, RE (2002). "Sobre los fundamentos de la dinámica analítica" (PDF) . Internacional Diario. Mecánica no lineal . 37 (6): 1079-1090. Código bibliográfico : 2002IJNLM..37.1079U. CiteSeerX 10.1.1.174.5726 . doi :10.1016/S0020-7462(01)00033-6. Archivado desde el original (PDF) el 13 de junio de 2010. 
4. Gay-Balmaz, François; Yoshimura, Hiroaki (2018). "De la mecánica lagrangiana a la termodinámica de desequilibrio: una perspectiva variacional". Entropía . 21 (1): 8. arXiv : 1904.03738 . Código Bib : 2018Entrp..21....8G. doi : 10.3390/e21010008 . ISSN  1099-4300. PMC 7514189 . PMID  33266724. 
5. Arnold Sommerfeld (1956), Mecánica: conferencias sobre física teórica , volumen 1, p. 53
6. Torby, Bruce (1984). "Métodos energéticos". Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en Ingeniería Mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 978-0-03-063366-9.
7. Jong, Ing-Chang (2005). "Mejora de la Mecánica de Materiales". Enseñanza del trabajo de los estudiantes y método de trabajo virtual en estática: una estrategia orientadora con ejemplos ilustrativos. Conferencia y exposición anual de la Sociedad Estadounidense para la Educación en Ingeniería de 2005 . Consultado el 24 de junio de 2014 .^{[ enlace muerto permanente ]}
8. Ruina, Andy L. y Rudra Pratap . Introducción a la estática y la dinámica. Preimpresión para Oxford University Press, 2008.