En teoría de números , un número primo de grupo es un número primo p tal que todo entero positivo par k ≤ p − 3 puede escribirse como la diferencia entre dos números primos que no excedan p ( OEIS : A038134 ). Por ejemplo, el número 23 es un número primo de grupo porque 23 − 3 = 20, y todo número entero par de 2 a 20, inclusive, es la diferencia de al menos un par de números primos que no excedan 23:
- 5 − 3 = 2
- 7 − 3 = 4
- 11 − 5 = 6
- 11 − 3 = 8
- 13 − 3 = 10
- 17 − 5 = 12
- 17 − 3 = 14
- 19 − 3 = 16
- 23 − 5 = 18
- 23 − 3 = 20
Por otra parte, 149 no es un número primo del grupo porque 140 < 146, y no hay forma de escribir 140 como la diferencia de dos números primos que sean menores o iguales a 149.
Por convención, el 2 no se considera un número primo del grupo. Los primeros 23 números primos impares (hasta 89) son todos números primos del grupo. Los primeros números primos impares que no son números primos del grupo son
- 97 , 127 , 149 , 191 , 211 , 223 , 227 , 229 , ... OEIS : A038133
No se sabe si hay infinitos cúmulos primos.
Problema sin resolver en matemáticas :
¿Hay infinitos números primos en cúmulos?
Propiedades
- El número primo que precede a un primo de grupo es siempre seis o menos. Para cualquier número primo n , denotemos el n-ésimo número primo. Si ≥ 8, entonces − 9 no puede expresarse como la diferencia de dos primos que no exceda ; por lo tanto, no es un primo de grupo.
- Lo inverso no es cierto: el primo no perteneciente al grupo más pequeño que es el mayor de un par con una brecha de longitud seis o menos es 227 , una brecha de solo cuatro entre 223 y 227. 229 es el primer primo no perteneciente al grupo que es el mayor de un par de primos gemelos .
- El conjunto de los números primos del cúmulo es un conjunto pequeño . En 1999, Richard Blecksmith demostró que la suma de los recíprocos de los números primos del cúmulo es finita. [1]
- Blecksmith también demostró un límite superior explícito para C(x), el número de primos del grupo menores o iguales a x. Específicamente, para cualquier entero positivo m : para todos los x suficientemente grandes .
- De ello se desprende que casi todos los números primos están ausentes del conjunto de primos del cúmulo.
Referencias
- ^ Blecksmith, Richard; Erdos, Paul; Selfridge, JL (1999). "Cluster Primes". The American Mathematical Monthly . 106 (1): 43–48. doi :10.2307/2589585. JSTOR 2589585.
Enlaces externos
