Wolstenholme prima

Tipo especial de número primo

En teoría de números , un primo de Wolstenholme es un tipo especial de número primo que satisface una versión más fuerte del teorema de Wolstenholme . El teorema de Wolstenholme es una relación de congruencia que satisfacen todos los números primos mayores que 3. Los primos de Wolstenholme reciben su nombre del matemático Joseph Wolstenholme , quien describió este teorema por primera vez en el siglo XIX.

El interés por estos números primos surgió por primera vez debido a su conexión con el último teorema de Fermat . Los números primos de Wolstenholme también están relacionados con otras clases especiales de números, estudiados con la esperanza de poder generalizar una prueba de la verdad del teorema a todos los números enteros positivos mayores que dos.

Los únicos dos primos de Wolstenholme conocidos son 16843 y 2124679 (secuencia A088164 en la OEIS ). No existen otros primos de Wolstenholme menores que 10 ⁹ . ^[2]

Definición

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existen otros números primos de Wolstenholme además de 16843 y 2124679?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

El número primo de Wolstenholme se puede definir de varias formas equivalentes.

Definición mediante coeficientes binomiales

Un primo de Wolstenholme es un número primo p  > 7 que satisface la congruencia

${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}},}$

donde la expresión del lado izquierdo denota un coeficiente binomial . ^[3] En comparación, el teorema de Wolstenholme establece que para cada primo p  > 3 se cumple la siguiente congruencia:

${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}.}$

Definición a través de los números de Bernoulli

Un primo de Wolstenholme es un primo p que divide al numerador del número de Bernoulli B _{p −3} . ^{[4] [5] [6]} Por lo tanto, los primos de Wolstenholme forman un subconjunto de los primos irregulares .

Definición por pares irregulares

Un primo de Wolstenholme es un primo p tal que ( p , p –3) es un par irregular . ^{[7] [8]}

Definición a través de números armónicos

Un primo de Wolstenholme es un primo p tal que ^[9]

${\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}\,,}$

es decir, el numerador del número armónico expresado en términos más bajos es divisible por p ³ . ${\displaystyle H_{p-1}}$

Búsqueda y estado actual

La búsqueda de primos de Wolstenholme comenzó en la década de 1960 y continuó durante las décadas siguientes, con los últimos resultados publicados en 2007. El primer primo de Wolstenholme 16843 se encontró en 1964, aunque no se informó explícitamente en ese momento. ^[10] El descubrimiento de 1964 fue confirmado posteriormente de forma independiente en la década de 1970. Este siguió siendo el único ejemplo conocido de un primo de este tipo durante casi 20 años, hasta el anuncio del descubrimiento del segundo primo de Wolstenholme 2124679 en 1993. ^[11] Hasta 1,2 × 10⁷ , no se encontraron más primos de Wolstenholme. ^[12] Esto se amplió posteriormente a 2 × 10⁸ por McIntosh en 1995 ^[5] y Trevisan & Weber lograron alcanzar 2,5 × 10⁸ . ^[13] El último resultado a partir de 2007 es que sólo existen esos dos primos de Wolstenholme hasta 10⁹ . ^[14]

Número esperado de primos de Wolstenholme

Se supone que existen infinitos primos de Wolstenholme. Se supone que el número de primos de Wolstenholme ≤  x es aproximadamente ln ln x , donde ln denota el logaritmo natural . Para cada primo p  ≥ 5, el cociente de Wolstenholme se define como

${\displaystyle W_{p}{=}{\frac {{2p-1 \choose p-1}-1}{p^{3}}}.}$

Claramente, p es un primo de Wolstenholme si y solo si W _p  ≡ 0 (mod  p ). Empíricamente, se puede suponer que los residuos de W _p módulo p están distribuidos uniformemente en el conjunto {0, 1, ..., p –1}. Por este razonamiento, la probabilidad de que el residuo tome un valor particular (por ejemplo, 0) es aproximadamente 1/ p . ^[5]

Véase también

• Primer ministro de Wieferich
• Muro–Sol–Sol principal
• Wilson primo
• Tabla de congruencias

Notas

1. Los números primos de Wolstenholme fueron descritos por primera vez por McIntosh en McIntosh 1995, p. 385
2. Weisstein, Eric W. , "Prime de Wolstenholme", ​​MathWorld
3. Cook, JD, Coeficientes binomiales , consultado el 21 de diciembre de 2010
4. Clarke y Jones 2004, pág. 553.
5. McIntosh 1995, pág. 387.
6. Zhao 2008, pág. 25.
7. Johnson 1975, pág. 114.
8. Buhler y otros 1993, pág. 152.
9. Zhao 2007, pág. 18.
10. Selfridge y Pollack publicaron el primer primo de Wolstenholme en Selfridge & Pollack 1964, p. 97 (véase McIntosh & Roettger 2007, p. 2092).
11. Ribenboim 2004, pág. 23.
12. Zhao 2007, pág. 25.
13. Trevisan y Weber 2001, pág. 283–284.
14. McIntosh y Roettger 2007, pág. 2092.

Referencias

• Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), "Números primos irregulares e invariantes ciclotómicos hasta cuatro millones" (PDF) , Matemáticas de la computación , 61 (203): 151–153, Bibcode :1993MaCom..61..151B, doi : 10.2307/2152942 , JSTOR  2152942Archivado el 22 de septiembre de 2021 en archive.today
• Clarke, F.; Jones, C. (2004), "Una congruencia para factoriales" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 36 (4): 553–558, doi :10.1112/S0024609304003194, S2CID  120202453Archivado el 2 de enero de 2011 en WebCite
• Johnson, W. (1975), "Primos irregulares e invariantes ciclotómicos" (PDF) , Matemáticas de la computación , 29 (129): 113–120, doi : 10.2307/2005468 , JSTOR  2005468Archivado el 28 de diciembre de 2021 en archive.today
• McIntosh, RJ (1995), "Sobre el recíproco del teorema de Wolstenholme" (PDF) , Acta Arithmetica , 71 (4): 381–389, doi : 10.4064/aa-71-4-381-389
• McIntosh, RJ; Roettger, EL (2007), "Una búsqueda de primos de Fibonacci-Wieferich y Wolstenholme" (PDF) , Matemáticas de la computación , 76 (260): 2087–2094, Bibcode :2007MaCom..76.2087M, doi : 10.1090/S0025-5718-07-01955-2Archivado el 10 de diciembre de 2010 en WebCite
• Ribenboim, P. (2004), "Capítulo 2. Cómo reconocer si un número natural es primo", The Little Book of Bigger Primes , Nueva York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 978-0-387-20169-6
• Selfridge, JL; Pollack, BW (1964), "El último teorema de Fermat es verdadero para cualquier exponente hasta 25.000", Notices of the American Mathematical Society , 11 : 97
• Trevisan, V.; Weber, KE (2001), "Prueba del inverso del teorema de Wolstenholme" (PDF) , Matemática Contemporânea , 21 (16): 275–286, doi :10.21711/231766362001/rmc2116Archivado el 6 de octubre de 2011 en Wayback Machine.
• Zhao, J. (2007), "Números de Bernoulli, teorema de Wolstenholme y variaciones p5 del teorema de Lucas" (PDF) , Journal of Number Theory , 123 : 18–26, doi : 10.1016/j.jnt.2006.05.005 , S2CID  937685Archivado el 30 de junio de 2010 en Wayback Machine.
• Zhao, J. (2008), "Teorema de tipo de Wolstenholme para sumas armónicas múltiples" (PDF) , Revista internacional de teoría de números , 4 (1): 73–106, doi :10.1142/s1793042108001146

Lectura adicional

• Babbage, C. (1819), "Demostración de un teorema relacionado con los números primos", The Edinburgh Philosophical Journal , 1 : 46–49
• Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), "Sobre la integralidad de los coeficientes de Taylor de mapas especulares, II", Communications in Number Theory and Physics , 3 (3): 555–591, arXiv : 0907.2578 , Bibcode :2009arXiv0907.2578K, doi :10.4310/CNTP.2009.v3.n3.a5
• Wolstenholme, J. (1862), "Sobre ciertas propiedades de los números primos", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 5 : 35–39

Enlaces externos

• Caldwell, Chris K. Wolstenholme, primer plano del glosario de primer plano
• McIntosh, RJ Wolstenholme Estado de la búsqueda en marzo de 2004 Correo electrónico a Paul Zimmermann
• Bruck, R. Teorema de Wolstenholme, números de Stirling y coeficientes binomiales
• Conrad, K. El crecimiento p-ádico de las sumas armónicas. Observación interesante que involucra los dos primos de Wolstenholme.