Conjetura sin respuesta en teoría de números
En teoría de números , la primera conjetura de Hardy-Littlewood establece la fórmula asintótica para el número de k-tuplas primas menores que una magnitud determinada generalizando el teorema de los números primos . Fue propuesto por primera vez por GH Hardy y John Edensor Littlewood en 1923. [2]
Declaración
Sean enteros pares positivos tales que los números de la secuencia no formen una clase de residuo completa con respecto a ningún primo y denotemos el número de primos menores que st. son todos primos. Entonces ![{\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots,m_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P=(p,p+m_{1},p+m_{2},\ldots,p+m_{k})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{P}(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p+m_{1},p+m_{2},\ldots,p+m_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{P}(n)\sim C_{P}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{k+1}t}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
![{\displaystyle C_{P}=2^{k}\prod _{q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}{\frac {1-{\frac {w(q;m_{1) },m_{2},\ldots ,m_{k})}{q}}}{\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{k+1}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un producto de números primos impares y denota el número de residuos distintos de módulo .![{\displaystyle w(q;m_{1},m_{2},\ldots,m_{k})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots,m_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El caso y está relacionado con la conjetura de los primos gemelos . Específicamente, si denota el número de primos gemelos menores que n , entonces![{\displaystyle k=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m_{1}=2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{2}(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{2}(n)\sim C_{2}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{2}t}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
![{\displaystyle C_{2}=2\prod _{\textstyle {q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(q-1) ^{2}}}\right)\aproximadamente 1,320323632\ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es la constante prima gemela.
número de sesgos
Los números de Skewes para k -tuplas primas son una extensión de la definición del número de Skewes para k -tuplas primas basada en la primera conjetura de Hardy-Littlewood. El primer primo p que viola la desigualdad de Hardy-Littlewood para la k -tupla P , es decir, tal que
![{\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(si existe tal primo) es el número de Skewes para P .
Consecuencias
Se ha demostrado que la conjetura es inconsistente con la segunda conjetura de Hardy-Littlewood . [4]
Generalizaciones
La conjetura de Bateman-Horn generaliza la primera conjetura de Hardy-Littlewood a polinomios de grado superior a 1.
Notas
- ^ Resistente, GH ; Littlewood, JE (1923). "Algunos problemas del 'Partitio Numerorum'. III.De la expresión de un número como suma de números primos". Acta Matemáticas. 44 (44): 1–70. doi : 10.1007/BF02403921 ..
- ^ Richards, Ian (1974). "Sobre la incompatibilidad de dos conjeturas sobre los primos". Toro. América. Matemáticas. Soc . 80 : 419–438. doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13434-8 .
Referencias
- Aletheia-Zomlefer, Soren Laing; Fukshansky, Lenny; García, Stephan Ramón (2020). "La conjetura de Bateman-Horn: heurística, historia y aplicaciones". Exposiciones Mathematicae . 38 (4): 430–479. doi : 10.1016/j.exmath.2019.04.005 . ISSN 0723-0869.
- Tóth, László (enero de 2019). "Sobre la densidad asintótica de k-tuplas primas y una conjetura de Hardy y Littlewood". Métodos Computacionales en Ciencia y Tecnología . 25 : 143-138. arXiv : 1910.02636 . doi :10.12921/cmst.2019.0000033.