Prime k-tupla

En teoría de números , una $k$ -tupla prima es una colección finita de valores que representan un patrón repetible de diferencias entre números primos . Para una $k$ -tupla $($ $a$ $,$ $b$ $, ... )$ , las posiciones donde la $k$ -tupla coincide con un patrón en los números primos están dadas por el conjunto de números enteros $n$ tales que todos los valores $($ $n$ $+$ $a$ $,$ $n$ $+$ $b$ $, \dots)$ son primos. Normalmente, el primer valor de la $k$ -tupla es 0 y el resto son números pares positivos distintos . ^[1]

Patrones con nombre

Varias de las k -tuplas más cortas se conocen con otros nombres comunes:

Secuencia OEIS OEIS : A257124 cubre 7 tuplas ( septillizos primos ) y contiene una descripción general de secuencias relacionadas, por ejemplo, las tres secuencias correspondientes a las tres 8 tuplas admisibles ( octillizos primos ) y la unión de todas las 8 tuplas. El primer término de estas secuencias corresponde al primer primo de la constelación de primos más pequeña que se muestra a continuación.

Admisibilidad

Para que una $k$ -tupla tenga infinitas posiciones en las que todos sus valores sean primos, no puede existir un $p$ primo tal que la tupla incluya todos los valores posibles diferentes módulo $p$ . Porque, si tal $p$ primo existiera, entonces no importa qué valor de $n$ se eligiera, uno de los valores formados sumando $n$ a la tupla sería divisible por $p$ , por lo que sólo podría haber un número finito de ubicaciones de primos (sólo aquellas que incluyan $p$ sí mismo). Por ejemplo, los números en una $k$ -tupla no pueden tomar los tres valores 0, 1 y 2 módulo 3; de lo contrario, los números resultantes siempre incluirían un múltiplo de 3 y, por lo tanto, no todos podrían ser primos a menos que uno de los números sea 3. Una $k$ -tupla que satisface esta condición (es decir, no tiene una $p$ para la cual cubra todos los diferentes valores módulo $p$ ) se llama admisible .

Se conjetura que cada $k$ -tupla admisible coincide con infinitas posiciones en la secuencia de números primos. Sin embargo, no existe ninguna tupla admisible para la cual esto se haya demostrado excepto la tupla 1 (0). Sin embargo, Yitang Zhang demostró en 2013 que existe al menos una 2-tupla que coincide con infinitas posiciones; El trabajo posterior demostró que existe una tupla doble con valores que difieren en 246 o menos y que coincide con infinitas posiciones. ^[2]

Posiciones emparejadas por patrones inadmisibles

Aunque (0, 2, 4) no es admisible, produce un conjunto único de números primos, (3, 5, 7) .

Algunas $k$ -tuplas inadmisibles tienen más de una solución totalmente prima. Esto no puede suceder para una $k$ -tupla que incluye todos los valores módulo 3, por lo que para tener esta propiedad una $k$ -tupla debe cubrir todos los valores módulo primo mayor, lo que implica que hay al menos cinco números en la tupla. La tupla más corta inadmisible con más de una solución es la 5-tupla (0, 2, 8, 14, 26) , que tiene dos soluciones: (3, 5, 11, 17, 29) y (5, 7, 13, 19, 31) , donde todos los valores mod 5 están incluidos en ambos casos.

Constelaciones principales

El diámetro de una $k$ -tupla es la diferencia de sus elementos más grandes y más pequeños. $Una k$ -tupla prima admisible con el diámetro $d$ más pequeño posible (entre todas $las k$ -tuplas admisibles) es una constelación prima . Para todo $n \geq k$ esto siempre producirá números primos consecutivos. ^[3] (Recuerde que todos $los n$ son números enteros cuyos valores $(n + a, n + b,\dots)$ son primos.)

Esto significa que, para $n$ grande :

p_{n+k-1}-p_{n}\geq d

donde $p n$ es el $n-$ ésimo número primo.

Las primeras constelaciones principales son:

El diámetro $d$ en función de $k$ es la secuencia A008407 en el OEIS .

A veces se hace referencia a una constelación principal como $k$ -tuplet primo , pero algunos autores reservan ese término para instancias que no forman parte de $k$ -tuplets más largos.

La primera conjetura de Hardy-Littlewood predice que se puede calcular la frecuencia asintótica de cualquier constelación primaria. Si bien la conjetura no está probada, se considera probable que sea cierta. Si ese es el caso, implica que la segunda conjetura de Hardy-Littlewood , por el contrario, es falsa.

Progresiones aritméticas primas

Una $k$ -tupla prima de la forma $(0, n, 2 n, 3 n,\dots, (k - 1) n)$ se dice que es una progresión aritmética prima . Para que tal $k$ -tupla cumpla con la prueba de admisibilidad, $n$ debe ser un múltiplo del primorial de $k$ . ^[5]

Números sesgados

Los números de Skewes para k -tuplas primas son una extensión de la definición del número de Skewes para k -tuplas primas basada en la primera conjetura de Hardy-Littlewood (Tóth (2019)). Sea una $k$ -tupla prima , el número de primos $p$ debajo $de x$ tales que todos sean primos, sea y sea su constante de Hardy-Littlewood (ver la primera conjetura de Hardy-Littlewood ). Entonces el primer primo $p$ que viola la desigualdad de Hardy-Littlewood para la $k$ -tupla $P$ , es decir, tal que $P=(p,\ p+i_{1},\ p+i_{2},\ \dots \ ,\ p+i_{k})$ $\pi _{P}(x)$ $p,\ p+i_{1},\ p+i_{2},\ \dots \ ,\ p+i_{k}$ ${\textstyle \operatorname {li} _{P}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}}$ $C_{P}$

\pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),

(si existe tal primo) es el número de Skewes para $P$ .

La siguiente tabla muestra los números de Skewes actualmente conocidos para k -tuplas primas:

Aún se desconoce el número de Skewes (si existe) para los números primos sexys . $(p,\;p+6)$

Referencias

^ Chris Caldwell, "The Prime Glossary: k-tuple" en The Prime Pages .
^ "Brechas acotadas entre números primos". PoliMatemáticas . Consultado el 22 de abril de 2019 .
^ Weisstein, Eric W. "Primera constelación". MundoMatemático .
^ Norman Luhn, "La gran base de datos de 'k-tuplets Prime más pequeños'".
^ Weisstein, Eric W. "Progresión aritmética prima". MundoMatemático .

Tóth, László (2019), "Sobre la densidad asintótica de k-tuplas primas y una conjetura de Hardy y Littlewood" (PDF) , Métodos computacionales en ciencia y tecnología , 25 (3), arXiv : 1910.02636 , doi :10.12921/cmst .2019.0000033, S2CID 203836016.
Wolf, Marek (2011), "El número de Skewes para primos gemelos: contando cambios de signo de π2(x) − C2Li2(x)" (PDF) , Métodos computacionales en ciencia y tecnología , 17 : 87–92, doi : 10.12921/ cmst.2011.17.01.87-92 , S2CID 59578795.