El primer lema de isotopía de Thom

Teorema

En matemáticas, especialmente en topología diferencial , el primer lema de isotopía de Thom establece: dado un mapa suave entre variedades suaves y un subconjunto estratificado de Whitney cerrado , si es propio y es una inmersión para cada estrato de , entonces es una fibración localmente trivial . ^[1] El lema fue introducido originalmente por René Thom, quien consideró el caso cuando . ^[2] En ese caso, el lema construye una isotopía desde la fibra hasta ; de ahí el nombre de "lema de isotopía". ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle f|_{S}}$ ${\displaystyle f|_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f|_{S}}$ ${\displaystyle N=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ ${\displaystyle f^{-1}(b)}$

Las trivializaciones locales que proporciona el lema preservan los estratos. Sin embargo, por lo general no son suaves (ni siquiera ). Por otro lado, es posible que las trivializaciones locales sean semialgebraicas si los datos de entrada son semialgebraicos. ^{[3] [4]} ${\displaystyle C^{1}}$

El lema también es válido para un espacio estratificado más general, como un espacio estratificado en el sentido de Mather pero con las condiciones de Whitney (o algunas otras condiciones). El lema también es válido para la estratificación que satisface la condición de Bekka (C), que es más débil que la condición de Whitney (B). ^[5] (La importancia de esto es que las consecuencias del primer lema de isotopía no pueden implicar la condición de Whitney (B).)

El segundo lema isotópico de Thom es una versión familiar del primer lema isotópico.

Prueba

La prueba ^[1] se basa en la noción de un campo vectorial controlado . ^[6] Sea un sistema de vecindades tubulares en de estratos en donde es la proyección asociada y dada por la norma cuadrada en cada fibra de . (La construcción de un sistema de este tipo se basa en las condiciones de Whitney o algo más débil). Por definición, un campo vectorial controlado es una familia de campos vectoriales (suaves de alguna clase) en los estratos tales que: para cada estrato A , existe una vecindad de en tal que para cualquier , ${\displaystyle \{(T_{A},\pi _{A},\rho _{A})\mid A\}}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi _{A}:T_{A}\to A}$ ${\displaystyle \rho _{A}:T_{A}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \pi _{A}}$ ${\displaystyle \eta _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T'_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle B>A}$

${\displaystyle \eta _{B}\circ \rho _{A}=0,}$

${\displaystyle (\pi _{A})_{*}\eta _{B}=\eta _{A}\circ \pi _{A}}$

en . ${\displaystyle T_{A}'\cap B}$

Supongamos que el sistema es compatible con el mapa (tal sistema existe). Entonces, Thom nos da dos resultados clave: ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle f:M\to N}$

1. Dado un campo vectorial en N , existe un campo vectorial controlado en S que es una elevación del mismo: . ^[7] ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f_{*}(\eta )=\zeta \circ f}$
2. Un campo vectorial controlado tiene un flujo continuo (a pesar del hecho de que un campo vectorial controlado es discontinuo). ^[8]

El lema ahora se deduce de una manera sencilla. Como el enunciado es local, supongamos que y los campos de vectores de coordenadas en . Luego, por el resultado de elevación, encontramos campos de vectores controlados en tales que . Sean los flujos asociados a ellos. Luego definamos ${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\partial _{i}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{*}({\widetilde {\partial _{i}}})=\partial _{i}\circ f}$ ${\displaystyle \varphi _{i}:\mathbb {R} \times S\to S}$

${\displaystyle H:f|_{S}^{-1}(0)\times \mathbb {R} ^{n}\to S}$

por

${\displaystyle H(y,t)=\varphi _{n}(t_{n},\phi _{n-1}(t_{n-1},\cdots ,\varphi _{1}(t_{1},y)\cdots )).}$

Es una función sobre y es un homeomorfismo ya que es la inversa. Como los flujos preservan los estratos, también preserva los estratos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G(x)=(\varphi _{1}(-t_{1},\cdots ,\varphi _{n}(-t_{n},x)\cdots ),t),t=f(x)}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \square }$

Véase también

• Teorema de fibración de Ehresmann
• Espacio estratificado de Thom-Mather
• Topología domesticada

Nota

1. Mather 2012, Proposición 11.1.
2. Thom 1969
3. Broglia, Fabrizio; Galbiati, Margherita; Tognoli, Alberto (11 de julio de 2011). Geometría analítica y algebraica real: Actas de la Conferencia Internacional, Trento (Italia), 21-25 de septiembre de 1992. Walter de Gruyter. ISBN 9783110881271.
4. Nota editorial: de hecho, las trivializaciones locales se pueden definir si la fecha de entrada es definible, según https://ncatlab.org/toddtrimble/published/Surface+diagrams
5. § 3 de Bekka, K. (1991). "C-Régularité et trivialité topologique". Teoría de la singularidad y sus aplicaciones . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1462. Saltador. págs. 42–62. doi :10.1007/BFb0086373. ISBN 978-3-540-53737-3.
6. Mather 2012, $ 9.
7. Mather 2012, Proposición 9.1.
8. Mather 2012, Proposición 10.1.

Referencias

• Mather, John (2012). "Notas sobre estabilidad topológica" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 49 (4): 475–506. doi :10.1090/S0273-0979-2012-01383-6.
• Thom, R. (1969). "Conjuntos y morfismos estratificados". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 75 (2): 240–284. doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12138-5 .

Enlaces externos

• https://mathoverflow.net/questions/23259/thom-first-isotopy-lemma-in-o-minimal-structures