En el área matemática de la teoría del orden , se habla a menudo de funciones que preservan ciertos límites, es decir, ciertos suprema o infima . En términos generales, estas funciones asignan el supremo/ínfimo de un conjunto al supremo/ínfimo de la imagen del conjunto. Dependiendo del tipo de conjuntos para los cuales una función satisface esta propiedad, puede conservar suprema o ínfima finita, dirigida, no vacía o simplemente arbitraria. Cada uno de estos requisitos aparece de forma natural y frecuente en muchas áreas de la teoría del orden y existen varias relaciones importantes entre estos conceptos y otras nociones como la monotonicidad . Si la implicación de preservación de límites se invierte, de modo que la existencia de límites en el rango de una función implica la existencia de límites en el dominio, entonces se obtienen funciones que reflejan límites .
El propósito de este artículo es aclarar la definición de estos conceptos básicos, lo cual es necesario ya que la literatura no siempre es consistente en este punto, y dar resultados y explicaciones generales sobre estos temas.
En muchas áreas especializadas de la teoría del orden, uno se restringe a clases de conjuntos parcialmente ordenados que son completos con respecto a ciertas construcciones límite. Por ejemplo, en teoría de celosías , uno está interesado en órdenes donde todos los conjuntos finitos no vacíos tienen un límite superior mínimo y un límite inferior máximo. En la teoría de dominios , por otro lado, uno se centra en conjuntos parcialmente ordenados en los que cada subconjunto dirigido tiene un supremo. Las celosías completas y los pedidos con un elemento mínimo (el "supremo vacío") proporcionan más ejemplos.
En todos estos casos, los límites juegan un papel central para las teorías, sustentados en sus interpretaciones en las aplicaciones prácticas de cada disciplina. También está interesado en especificar asignaciones apropiadas entre dichos órdenes. Desde un punto de vista algebraico , esto significa que se quieren encontrar nociones adecuadas de homomorfismos para las estructuras bajo consideración. Esto se logra considerando aquellas funciones que sean compatibles con las construcciones características de los respectivos pedidos. Por ejemplo, los homomorfismos reticulares son aquellas funciones que preservan suprema e ínfima finitas no vacías, es decir, la imagen de un supremo/ínfimo de dos elementos es solo el supremo/ínfimo de sus imágenes. En la teoría de dominios, a menudo se trata de las llamadas funciones continuas de Scott que preservan toda suprema dirigida.
Los antecedentes de las definiciones y terminología que se dan a continuación se encuentran en la teoría de categorías , donde se consideran los límites (y co-límites ) en un sentido más general. El concepto categórico de funtores que preservan y reflejan límites está en completa armonía con la teoría del orden, ya que los órdenes pueden considerarse como pequeñas categorías definidas como categorías poset con una estructura adicional definida.
Considere dos conjuntos parcialmente ordenados P y Q , y una función f de P a Q. Además, sea S un subconjunto de P que tenga un límite superior mínimo s . Entonces f conserva el supremo de S si el conjunto f ( S ) = { f ( x ) | x en S } tiene un límite superior mínimo en Q que es igual a f ( s ), es decir
Esta definición consta de dos requisitos: que el supremo del conjunto f ( S ) exista y sea igual a f ( s ). Esto corresponde al paralelo mencionado anteriormente con la teoría de categorías, pero no siempre es requerido en la literatura. De hecho, en algunos casos se debilita la definición al exigir que sólo el suprema existente sea igual a f ( s ). Sin embargo, Wikipedia trabaja con la noción común dada anteriormente y establece explícitamente la otra condición si es necesario.
De la definición fundamental dada anteriormente, se puede derivar una amplia gama de propiedades útiles. Se dice que una función f entre los posets P y Q preserva la suprema finita, no vacía, dirigida o arbitraria si preserva la suprema de todos los conjuntos finitos, no vacíos, dirigidos o arbitrarios, respectivamente. La preservación de la suprema finita no vacía también se puede definir mediante la identidad f ( x v y ) = f ( x ) v f ( y ), válida para todos los elementos x e y , donde asumimos que v es una función total en ambos pedidos.
De manera dual , se definen propiedades para la preservación de la ínfima.
La condición "opuesta" a la preservación de los límites se llama reflexión. Considere una función f como la anterior y un subconjunto S de P , tal que sup f ( S ) existe en Q y es igual a f ( s ) para algunos elementos s de P. Entonces f refleja el supremo de S si sup S existe y es igual a s . Como ya se demostró para la preservación, se obtienen muchas propiedades adicionales al considerar ciertas clases de conjuntos S y al dualizar la definición a ínfima.
Algunos casos especiales o propiedades derivadas del esquema anterior se conocen con otros nombres o son de particular importancia para algunas áreas de la teoría del orden. Por ejemplo, las funciones que conservan el supremo vacío son aquellas que conservan el elemento mínimo. Además, debido a la motivación explicada anteriormente, muchas funciones de conservación de límites aparecen como homomorfismos especiales para ciertas estructuras de orden. Algunos otros casos destacados se detallan a continuación.
Una situación interesante ocurre si una función preserva toda suprema (o ínfima). Más exactamente, esto se expresa diciendo que una función preserva todos los supremas (o ínfimas) existentes , y bien puede ser que los posets bajo consideración no sean retículos completos. Por ejemplo, las conexiones de Galois (monótonas) tienen esta propiedad. Por el contrario, según el teorema del functor adjunto teórico del orden, se puede garantizar que las asignaciones que preservan todos los suprema/infima sean parte de una conexión de Galois única siempre que se cumplan algunos requisitos adicionales.
Una red L es distributiva si, para todo x , y y z en L , encontramos
Pero esto solo dice que la función de encuentro ^: L -> L preserva la suprema binaria . Se sabe en la teoría de la red que esta condición es equivalente a su dual, es decir, la función v: L -> L preservando el ínfima binario. De manera similar, se ve que la ley de distributividad infinita
de álgebras de Heyting completas (ver también topología inútil ) es equivalente a la función de encuentro ^ preservando la suprema arbitraria. Esta condición, sin embargo, no implica su dualidad.
Las funciones que preservan la suprema dirección se denominan continuas de Scott o, a veces, simplemente continuas , si esto no causa confusión con los conceptos correspondientes de análisis y topología . En la teoría de categorías también se puede encontrar un uso similar del término continuo para la preservación de límites.
La definición anterior de preservación de límites es bastante sólida. De hecho, toda función que preserve al menos la suprema o ínfima de cadenas de dos elementos, es decir, de conjuntos de dos elementos comparables, es necesariamente monótona. Por tanto, todas las propiedades de conservación especiales mencionadas anteriormente inducen monotonicidad.
Partiendo del hecho de que algunos límites pueden expresarse en términos de otros, se pueden derivar conexiones entre las propiedades de conservación. Por ejemplo, una función f preserva la suprema dirigida si y sólo si preserva la suprema de todos los ideales. Además, una aplicación f de un poset en el que existe todo supremo finito no vacío (la llamada sup-semired) preserva la suprema arbitraria si y sólo si preserva tanto la suprema dirigida como la finita (posiblemente vacía).
Sin embargo, no es cierto que una función que preserve toda suprema preserve también toda ínfima o viceversa.
