In mathematics and computer programming, the order of operations is a collection of rules that reflect conventions about which operations to perform first in order to evaluate a given mathematical expression.
These rules are formalized with a ranking of the operations. The rank of an operation is called its precedence, and an operation with a higher precedence is performed before operations with lower precedence. Calculators generally perform operations with the same precedence from left to right,[1] but some programming languages and calculators adopt different conventions.
For example, multiplication is granted a higher precedence than addition, and it has been this way since the introduction of modern algebraic notation.[2][3] Thus, in the expression 1 + 2 × 3, the multiplication is performed before addition, and the expression has the value 1 + (2 × 3) = 7, and not (1 + 2) × 3 = 9. When exponents were introduced in the 16th and 17th centuries, they were given precedence over both addition and multiplication and placed as a superscript to the right of their base.[2] Thus 3 + 52 = 28 and 3 × 52 = 75.
These conventions exist to avoid notational ambiguity while allowing notation to remain brief.[4] Where it is desired to override the precedence conventions, or even simply to emphasize them, parentheses ( ) can be used. For example, (2 + 3) × 4 = 20 forces addition to precede multiplication, while (3 + 5)2 = 64 forces addition to precede exponentiation. If multiple pairs of parentheses are required in a mathematical expression (such as in the case of nested parentheses), the parentheses may be replaced by brackets or braces to avoid confusion, as in [2 × (3 + 4)] − 5 = 9.
These rules are meaningful only when the usual notation (called infix notation) is used. When functional or Polish notation are used for all operations, the order of operations results from the notation itself.
El orden de las operaciones, es decir, el orden en que normalmente se realizan las operaciones en una expresión, resulta de una convención adoptada en las matemáticas, la ciencia, la tecnología y muchos lenguajes de programación informática . Se resume como: [2] [5]
Esto significa que para evaluar una expresión, primero se evalúa cualquier subexpresión dentro de paréntesis, trabajando de adentro hacia afuera si hay más de un conjunto. Ya sea entre paréntesis o no, la operación que esté más arriba en la lista anterior debe aplicarse primero. Las operaciones con la misma precedencia se evalúan convencionalmente de izquierda a derecha.
Si cada división se reemplaza con una multiplicación por el recíproco (inverso multiplicativo), entonces las leyes asociativa y conmutativa de la multiplicación permiten que los factores en cada término se multipliquen juntos en cualquier orden. A veces, a la multiplicación y a la división se les da la misma prioridad, o a veces a la multiplicación se les da mayor prioridad que a la división; ver § División y multiplicación mixtas a continuación. Si cada resta se reemplaza con la suma del opuesto (inversa aditiva), entonces las leyes asociativa y conmutativa de la suma permiten sumar términos en cualquier orden.
El símbolo de la raíz √ se prolonga tradicionalmente mediante una barra (llamada vinculum ) sobre el radicando (esto evita la necesidad de paréntesis alrededor del radicando). Otras funciones utilizan paréntesis alrededor de la entrada para evitar ambigüedades. [6] [7] [a] Los paréntesis se pueden omitir si la entrada es una única variable numérica o constante, [2] como en el caso de sin x = sin( x ) y sin π = sin(π) . [a] Tradicionalmente esta convención se extiende a los monomios ; por lo tanto, sen 3 x = sen(3 x ) e incluso sen1/2xy = sin( xy /2) , pero sin x + y = sin( x ) + y , porque x + y no es un monomio. Sin embargo, esta convención no se comprende universalmente y algunos autores prefieren paréntesis explícitos. [b] Algunas calculadoras y lenguajes de programación requieren paréntesis alrededor de las entradas de funciones, otras no.
Se pueden utilizar símbolos de agrupación para anular el orden habitual de operaciones. [2] Los símbolos agrupados se pueden tratar como una sola expresión. [2] Los símbolos de agrupación se pueden eliminar utilizando las leyes asociativa y distributiva , y también se pueden eliminar si la expresión dentro del símbolo de agrupación está lo suficientemente simplificada para que no se produzca ambigüedad al eliminarla.
Multiplicación antes de la suma:
Las subexpresiones entre paréntesis se evalúan primero:
Exponenciación antes de multiplicación, multiplicación antes de resta:
Cuando una expresión se escribe como superíndice, se considera que el superíndice está agrupado por su posición sobre su base:
El operando de un símbolo raíz está determinado por la barra superior:
Una línea fraccionaria horizontal también actúa como símbolo de agrupación:
Los paréntesis se pueden anidar y deben evaluarse de adentro hacia afuera. Para mayor legibilidad, los paréntesis exteriores se pueden hacer más grandes que los paréntesis interiores. Como alternativa, a veces se utilizan otros símbolos de agrupación, como llaves { } o corchetes [ ] , junto con paréntesis ( ) . Por ejemplo:
Existen diferentes convenciones con respecto a la operación unaria '-' (generalmente pronunciada "menos"). En matemáticas escritas o impresas, la expresión −3 2 se interpreta en el sentido de −(3 2 ) = −9 . [2] [8]
En algunas aplicaciones y lenguajes de programación, en particular Microsoft Excel , PlanMaker (y otras aplicaciones de hojas de cálculo) y el lenguaje de programación bc , las operaciones unarias tienen mayor prioridad que las operaciones binarias, es decir, el menos unario tiene mayor prioridad que la exponenciación, por lo que en esos lenguajes −3 2 se interpretará como (−3) 2 = 9 . [9] Esto no se aplica a la operación binaria menos '-'; por ejemplo en Microsoft Excel mientras las fórmulas y =−2^2
devuelven 4, las fórmulas y devuelven −4.=-(2)^2
=0+−2^2
=0−2^2
=−(2^2)
No existe una convención universal para interpretar un término que contiene tanto la división denotada por '÷' como la multiplicación denotada por '×'. Las convenciones propuestas incluyen asignar a las operaciones la misma precedencia y evaluarlas de izquierda a derecha, o de manera equivalente tratar la división como una multiplicación por el recíproco y luego evaluarla en cualquier orden; [10] evaluando todas las multiplicaciones primero seguidas de divisiones de izquierda a derecha; o evitar tales expresiones y, en cambio, desambiguarlas siempre mediante paréntesis explícitos. [11]
Más allá de la escuela primaria, el símbolo '÷' para división rara vez se usa, pero se reemplaza por el uso de fracciones algebraicas , [12] generalmente escritas verticalmente con el numerador apilado sobre el denominador, lo que hace que la agrupación sea explícita e inequívoca, pero a veces se escribe en línea. usando la barra diagonal o el símbolo solidus, '/'.
La multiplicación denotada por yuxtaposición (también conocida como multiplicación implícita ) crea una unidad visual y tiene mayor prioridad que la mayoría de las otras operaciones. En la literatura académica, cuando las fracciones en línea se combinan con la multiplicación implícita sin paréntesis explícitos, se interpreta convencionalmente que la multiplicación tiene mayor precedencia que la división, de modo que, por ejemplo, se interpreta que 1 / 2 n significa 1 / (2 · n ) en lugar de (1 / 2) · n . [2] [10] [13] [14] Por ejemplo, las instrucciones de envío de manuscritos para las revistas de Physical Review establecen directamente que la multiplicación tiene prioridad sobre la división, [15] y esta es también la convención observada en los libros de texto de física como el Curso de Física Teórica de Landau y Lifshitz [c] y libros de texto de matemáticas como Matemáticas Concretas de Graham , Knuth y Patashnik . [16] Sin embargo, algunos autores desaconsejan expresiones como a / bc , prefiriendo el uso explícito del paréntesis a /( bc ) . [3]
Los casos más complicados son más ambiguos. Por ejemplo, la notación 1 / 2 π ( a + b ) podría significar plausiblemente 1 / [2 π · ( a + b )] o [1 / (2 π )] · ( a + b ) . [17] A veces la interpretación depende del contexto. Las instrucciones de envío de Physical Review recomiendan no usar expresiones de la forma a / b / c ; expresiones más explícitas ( a / b ) / c o a / ( b / c ) no son ambiguas. [15]
Esta ambigüedad ha sido objeto de memes de Internet como " 8 ÷ 2(2 + 2) ", para el cual existen dos interpretaciones contradictorias: 8 ÷ [2 · (2 + 2)] = 1 y (8 ÷ 2) · (2 + 2) = 16. [14] [18] El investigador en educación matemática Hung-Hsi Wu señala que "uno nunca consigue un cálculo de este tipo en la vida real", y llama a estos ejemplos artificiales "una especie de salón Gotcha! "Juego diseñado para atrapar a una persona desprevenida expresándolo en términos de un conjunto de reglas irrazonablemente complicadas". [12]
Si la exponenciación se indica mediante símbolos apilados usando notación de superíndice, la regla habitual es trabajar de arriba hacia abajo: [2] [7]
que normalmente no es igual a ( a b ) c . Esta convención es útil porque existe una propiedad de la exponenciación que indica que ( a b ) c = a bc , por lo que no es necesario utilizar la exponenciación en serie para esto.
Sin embargo, cuando la exponenciación se representa mediante un símbolo explícito como un signo de intercalación (^) o una flecha ( ↑), no existe un estándar común. Por ejemplo, Microsoft Excel y el lenguaje de programación informática MATLAB se evalúan como ( a b ) c , pero Google Search y Wolfram Alpha se evalúan como a ( b c ) . Así se evalúa a 4.096 en el primer caso y a 262.144 en el segundo caso.a^b^c
4^3^2
Los mnemotécnicos se utilizan a menudo para ayudar a los estudiantes a recordar las reglas, que involucran las primeras letras de palabras que representan varias operaciones. [19] [20]
These mnemonics may be misleading when written this way.[24] For example, misinterpreting any of the above rules to mean "addition first, subtraction afterward" would incorrectly evaluate the expression[24] as , while the correct evaluation is . These values are different when .
Mnemonic acronyms have been criticized for not developing a conceptual understanding of the order of operations, and not addressing student questions about its purpose or flexibility.[28][29] Students learning the order of operations via mnemonic acronyms routinely make mistakes,[30] as do some pre-service teachers.[31] Even when students correctly learn the acronym, a disproportionate focus on memorization of trivia crowds out substantive mathematical content.[12] The acronym's procedural application does not match experts' intuitive understanding of mathematical notation: mathematical notation indicates groupings in ways other than parentheses or brackets and a mathematical expression is a tree-like hierarchy rather than a linearly "ordered" structure; furthermore, there is no single order by which mathematical expressions must be simplified or evaluated and no universal canonical simplification for any particular expression, and experts fluently apply valid transformations and substitutions in whatever order is convenient, so learning a rigid procedure can lead students to a misleading and limiting understanding of mathematical notation.[32]
Diferentes calculadoras siguen diferentes órdenes de operaciones. [2] Muchas calculadoras simples sin pila implementan la entrada en cadena , trabajando en el orden de presionar un botón sin dar prioridad a las diferentes operaciones, dan un resultado diferente al dado por calculadoras más sofisticadas. Por ejemplo, en una calculadora sencilla, al escribir 1 + 2 × 3 =
se obtiene 9, mientras que en una calculadora más sofisticada se utilizará una prioridad más estándar, por lo que al escribir 1 + 2 × 3 =
se obtiene 7.
Las calculadoras pueden asociar exponentes a la izquierda o a la derecha. Por ejemplo, la expresión se interpreta como a ( b c ) en la TI-92 y la TI-30XS MultiView en "modo Mathprint", mientras que se interpreta como ( a b ) c en la TI-30XII y la TI-30XS. MultiView en "modo clásico".a^b^c
Una expresión como es interpretada como 1/(2 x ) por la TI-82 , [3] así como por muchas calculadoras Casio modernas [33] (configurables en algunas como la fx-9750GIII ), pero como (1/2) x por TI-83 y todas las demás calculadoras TI lanzadas desde 1996, [34] [3] , así como todas las calculadoras Hewlett-Packard con notación algebraica. Si bien algunos usuarios pueden esperar la primera interpretación debido a la naturaleza de la multiplicación implícita , [35] la última está más en línea con la regla de que la multiplicación y la división tienen la misma prioridad. [3]1/2x
Cuando el usuario no está seguro de cómo una calculadora interpretará una expresión, se pueden utilizar paréntesis para eliminar la ambigüedad. [3]
El orden de operaciones surgió debido a la adaptación de la notación infija en la notación matemática estándar , que puede ser notacionalmente ambigua sin tales convenciones, a diferencia de la notación postfija o la notación prefija , que no necesitan órdenes de operaciones. [36] [37] Por lo tanto, las calculadoras que utilizan notación polaca inversa (RPN) y utilizan una pila para ingresar expresiones en el orden de precedencia correcto no necesitan paréntesis ni ningún orden de ejecución posiblemente específico del modelo. [24] [23]
La mayoría de los lenguajes de programación utilizan niveles de precedencia que se ajustan al orden comúnmente utilizado en matemáticas, [38] aunque otros, como APL , Smalltalk , Occam y Mary , no tienen reglas de precedencia de operadores (en APL, la evaluación es estrictamente de derecha a izquierda; en Smalltalk , es estrictamente de izquierda a derecha).
Además, debido a que muchos operadores no son asociativos, el orden dentro de cualquier nivel generalmente se define agrupando de izquierda a derecha de modo que se 16/4/4
interprete como (16/4)/4 = 1 en lugar de 16/(4/4) = 16 ; Estos operadores se denominan "asociativos de izquierda". Existen excepciones; por ejemplo, los lenguajes con operadores correspondientes a la operación contras en listas generalmente los agrupan de derecha a izquierda ("asociativo derecho"), por ejemplo, en Haskell , 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4]
.
Dennis Ritchie , creador del lenguaje C , dijo sobre la precedencia en C (compartida por los lenguajes de programación que toman prestadas esas reglas de C, por ejemplo, C++ , Perl y PHP ) que hubiera sido preferible mover los operadores bit a bit por encima de la comparación. operadores . [39] Muchos programadores se han acostumbrado a este orden, pero los lenguajes populares más recientes como Python [40] y Ruby [41] tienen este orden invertido. Los niveles de precedencia relativa de los operadores que se encuentran en muchos lenguajes de estilo C son los siguientes:
Ejemplos:
!A + !B
se interpreta como(!A) + (!B)
++A + !B
se interpreta como(++A) + (!B)
A + B * C
se interpreta comoA + (B * C)
A || B && C
se interpreta comoA || (B && C)
A && B == C
se interpreta comoA && (B == C)
A & B == C
se interpreta comoA & (B == C)
(En Python , Ruby , PARI/GP y otros lenguajes populares, A & B == C
se interpreta como (A & B) == C
).
Los compiladores de fuente a fuente que compilan en varios idiomas deben abordar explícitamente la cuestión del orden diferente de las operaciones en todos los idiomas. Haxe, por ejemplo, estandariza el orden y lo hace cumplir insertando corchetes donde corresponde.
Se ha descubierto que la precisión del conocimiento de los desarrolladores de software sobre la precedencia de los operadores binarios sigue de cerca su frecuencia de aparición en el código fuente. [43]
sin
), pero no lo use con nombres de funciones genéricas (como f
).Regel 7: Ist F ( A ) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und F eine Funktionenkonstante und A eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf F A dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung F n ( A ) für ( F ( A )) n üblich. Dabei kann F sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.]
El lenguaje del álgebra [...] puede utilizarse como taquigrafía, para abreviar y simplificar enunciados largos o complicados.
El libro de Chrystal fue la fuente canónica en inglés sobre el álgebra de la escuela secundaria de principios del siglo XX y, posiblemente, la fuente de muchas descripciones posteriores del orden de las operaciones. Sin embargo, si bien el libro de Chrystal inicialmente establece una regla rígida para evaluar expresiones que involucran los símbolos '÷' y '×', luego otorga consistentemente mayor prioridad a la multiplicación implícita que a la división al escribir fracciones en línea, sin discutir explícitamente la discrepancia entre la regla formal y la práctica común. .
Una expresión de la forma a / bc significa lo mismo que a /( bc ) . Además, log x /log y = (log x )/(log y ) y 2 n ! = 2( norte !) .
El PEMDAS es un acrónimo o mnemotécnico para el orden de operaciones que significa Paréntesis, Exponentes, Multiplicación, División, Suma y Resta.
Este acrónimo es ampliamente utilizado en los Estados Unidos de América.
Mientras tanto, en otros países como Reino Unido y Canadá las siglas utilizadas son BODMAS (Brackets, Order, Division, Multiplication, Suma and Resta) y BIDMAS (Brackets, Indices, Division, Multiplication, Suma and Resta).
[...] los estudiantes frecuentemente cometen errores de cálculo con expresiones que tienen multiplicación y división o suma y resta una al lado de la otra.
[...]
Ahora, el AOS
reconoce la multiplicación implícita
y las funciones de raíz cuadrada, logarítmica y trigonométrica pueden ser seguidas por sus argumentos como cuando se trabaja con lápiz y papel.(NB. La TI-88 solo existió como prototipo y nunca fue lanzada al público).