Interacción cuártica

Teoría cuántica de campos con interacciones de cuatro puntos

En la teoría cuántica de campos , una interacción cuártica es un tipo de autointeracción en un campo escalar . Se pueden encontrar otros tipos de interacciones cuárticas bajo el tema de interacciones de cuatro fermiones . Un campo escalar libre clásico satisface la ecuación de Klein-Gordon . Si un campo escalar se denota , una interacción cuártica se representa añadiendo un término de energía potencial a la densidad lagrangiana . La constante de acoplamiento es adimensional en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Este artículo utiliza la firma métrica para el espacio de Minkowski . ${\displaystyle (+---)}$

El lagrangiano para un campo escalar real

La densidad lagrangiana para un campo escalar real con una interacción cuártica es

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2}\varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.}$

Este Lagrangiano tiene una función de simetría global Z ₂ . ${\displaystyle \varphi \to -\varphi }$

El lagrangiano para un campo escalar complejo

El lagrangiano para un campo escalar complejo se puede motivar de la siguiente manera. Para dos campos escalares y el lagrangiano tiene la forma ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},}$

que se puede escribir de forma más concisa introduciendo un campo escalar complejo definido como ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),}$

${\displaystyle \phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).}$

Expresado en términos de este campo escalar complejo, el Lagrangiano anterior se convierte en

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},}$

lo cual es por tanto equivalente al modelo SO(2) de campos escalares reales , como se puede ver al expandir el campo complejo en partes reales e imaginarias. ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$ ${\displaystyle \phi }$

Con campos escalares reales, podemos tener un modelo con una simetría global SO(N) dada por el Lagrangiano ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi ^{4}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.}$

La expansión del campo complejo en partes reales e imaginarias muestra que es equivalente al modelo SO(2) de campos escalares reales.

En todos los modelos anteriores, la constante de acoplamiento debe ser positiva, ya que de lo contrario el potencial no tendría límites por debajo y no habría vacío estable. Además, la integral de trayectoria de Feynman que se analiza a continuación estaría mal definida. En 4 dimensiones, las teorías tienen un polo de Landau . Esto significa que sin un límite en la escala de alta energía, la renormalización haría que la teoría fuera trivial . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$

El modelo pertenece a la clase Griffiths-Simon, ^[1] lo que significa que también puede representarse como el límite débil de un modelo de Ising en un determinado tipo de gráfico. La trivialidad tanto del modelo como del modelo de Ising se puede demostrar mediante una representación gráfica conocida como expansión de corriente aleatoria. ^[2] ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle d\geq 4}$

Cuantización integral de Feynman

La expansión del diagrama de Feynman también se puede obtener a partir de la formulación de la integral de trayectoria de Feynman . ^[3] Los valores esperados de vacío ordenados en el tiempo de los polinomios en φ, conocidos como funciones de Green de n -partículas, se construyen integrando sobre todos los campos posibles, normalizados por el valor esperado de vacío sin campos externos,

${\displaystyle \langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

Todas estas funciones de Green se pueden obtener expandiendo la exponencial en J ( x )φ( x ) en la función generadora

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$

Se puede aplicar una rotación de Wick para hacer que el tiempo sea imaginario. Si se cambia la signatura a (++++), se obtiene una integral de mecánica estadística φ ^{4 sobre un} espacio euclidiano de cuatro dimensiones .

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.}$

Normalmente, esto se aplica a la dispersión de partículas con momentos fijos, en cuyo caso, es útil una transformada de Fourier , que da en cambio

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

¿Dónde está la función delta de Dirac ? ${\displaystyle \delta (x)}$

El truco estándar para evaluar esta integral funcional es escribirla como un producto de factores exponenciales, esquemáticamente,

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

Los dos segundos factores exponenciales se pueden desarrollar como series de potencias y la combinatoria de esta expansión se puede representar gráficamente. La integral con λ = 0 se puede tratar como un producto de infinitas integrales gaussianas elementales y el resultado se puede expresar como una suma de diagramas de Feynman , calculados utilizando las siguientes reglas de Feynman:

• Cada campo en la función de Green euclidiana de n puntos está representado por una línea externa (mitad del borde) en el gráfico y asociado con el momento p . ${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)}$
• Cada vértice está representado por un factor -λ .
• En un orden dado λ ^k , todos los diagramas con n líneas externas y k vértices se construyen de manera que el momento que fluye hacia cada vértice sea cero. Cada línea interna está representada por un factor 1/( q ² + m ² ), donde q es el momento que fluye a través de esa línea.
• Todos los momentos no restringidos se integran sobre todos los valores.
• El resultado se divide por un factor de simetría, que es el número de formas en que se pueden reorganizar las líneas y los vértices del gráfico sin cambiar su conectividad.
• No incluya gráficos que contengan "burbujas de vacío", subgráficos conectados sin líneas externas.

La última regla tiene en cuenta el efecto de dividir por . Las reglas de Feynman del espacio de Minkowski son similares, excepto que cada vértice está representado por , mientras que cada línea interna está representada por un factor i /( q ² - m ² + i ε ), donde el término ε representa la pequeña rotación de Wick necesaria para hacer que la integral gaussiana del espacio de Minkowski converja. ${\displaystyle {\tilde {Z}}[0]}$ ${\displaystyle -i\lambda }$ 

Renormalización

Las integrales sobre momentos no restringidos, llamadas "integrales de bucle", en los gráficos de Feynman suelen divergir. Esto normalmente se maneja mediante renormalización , que es un procedimiento de agregar contratérminos divergentes al lagrangiano de tal manera que los diagramas construidos a partir del lagrangiano original y los contratérminos sean finitos. ^[4] Se debe introducir una escala de renormalización en el proceso, y la constante de acoplamiento y la masa se vuelven dependientes de ella. Es esta dependencia la que conduce al polo de Landau mencionado anteriormente, y requiere que el límite se mantenga finito. Alternativamente, si se permite que el límite llegue al infinito, el polo de Landau se puede evitar solo si el acoplamiento renormalizado llega a cero, lo que hace que la teoría sea trivial . ^[5]

Ruptura espontánea de simetría

Una característica interesante puede ocurrir si m ² se vuelve negativo, pero con λ todavía positivo. En este caso, el vacío consta de dos estados de energía más bajos, cada uno de los cuales rompe espontáneamente la simetría global Z _{2 de la teoría original. Esto lleva a la aparición de estados colectivos interesantes como} las paredes de dominio . En la teoría O (2), los vacíos estarían en un círculo, y la elección de uno rompería espontáneamente la simetría O (2). Una simetría rota continua conduce a un bosón de Goldstone . Este tipo de ruptura espontánea de la simetría es el componente esencial del mecanismo de Higgs . ^[6]

Ruptura espontánea de simetrías discretas

El sistema relativista más simple en el que podemos ver una ruptura espontánea de la simetría es uno con un solo campo escalar con Lagrangiano. ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\varphi ),}$

donde y ${\displaystyle \mu ^{2}>0}$

${\displaystyle V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.}$

Minimizar el potencial con respecto a los clientes potenciales ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

Ampliamos ahora el campo en torno a esta escritura mínima.

${\displaystyle \varphi (x)=v+\sigma (x),}$

y sustituyendo en el lagrangiano obtenemos

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{unimportant constant}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{massive scalar field}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{self-interactions}}.}$

donde observamos que el escalar ahora tiene un término de masa positivo . ${\displaystyle \sigma }$

Pensar en términos de valores esperados del vacío nos permite entender qué le sucede a una simetría cuando se rompe espontáneamente. El lagrangiano original era invariante bajo la simetría . Dado que ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$

${\displaystyle \langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}$

son ambos mínimos, debe haber dos vacíos diferentes: con ${\displaystyle |\Omega _{\pm }\rangle }$

${\displaystyle \langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.}$

Como la simetría toma , debe tomar también. Los dos vacíos posibles para la teoría son equivalentes, pero se debe elegir uno. Aunque parece que en el nuevo lagrangiano la simetría ha desaparecido, sigue estando allí, pero ahora actúa como Esta es una característica general de las simetrías que se rompen espontáneamente: el vacío las rompe, pero en realidad no se rompen en el lagrangiano, solo se ocultan y, a menudo, solo se realizan de forma no lineal. ^[7] ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$ ${\displaystyle |\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle }$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle \sigma \rightarrow -\sigma -2v.}$

Soluciones exactas

Existe un conjunto de soluciones clásicas exactas para la ecuación de movimiento de la teoría escrita en la forma

${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0}$

que puede escribirse para el caso sin masa, como ^[8] ${\displaystyle \mu _{0}=0}$

${\displaystyle \varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

donde es la función seno elíptico de Jacobi y son dos constantes de integración, siempre que se cumpla la siguiente relación de dispersión ${\displaystyle \,{\rm {sn\!}}}$ ${\displaystyle \,\mu ,\theta }$

${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.}$

Lo interesante es que empezamos con una ecuación sin masa, pero la solución exacta describe una onda con una relación de dispersión propia de una solución masiva. Cuando el término de masa no es cero, se obtiene

${\displaystyle \varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)}$

siendo ahora la relación de dispersión

${\displaystyle p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.}$

Finalmente, para el caso de una ruptura de simetría se tiene

${\displaystyle \varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

siendo y se cumple la siguiente relación de dispersión ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}}$

${\displaystyle p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.}$

Estas soluciones ondulatorias son interesantes porque, a pesar de que empezamos con una ecuación con un signo de masa incorrecto, la relación de dispersión tiene el correcto. Además, la función de Jacobi no tiene ceros reales y, por lo tanto, el campo nunca es cero, sino que se mueve alrededor de un valor constante dado que se elige inicialmente y describe una ruptura espontánea de la simetría. ${\displaystyle \,{\rm {dn}}\!}$

Se puede aportar una prueba de unicidad si observamos que la solución se puede buscar en la forma . Entonces, la ecuación diferencial parcial se convierte en una ecuación diferencial ordinaria que es la que define la función elíptica de Jacobi al satisfacer la relación de dispersión adecuada. ${\displaystyle \varphi =\varphi (\xi )}$ ${\displaystyle \xi =p\cdot x}$ ${\displaystyle p}$

Véase también

• Teoría de campos escalares
• Trivialidad cuántica
• Poste Landau
• Renormalización
• Mecanismo de Higgs
• Bosón de Goldstone
• Potencial de Coleman-Weinberg

Referencias

1. Simon, Barry; Griffiths, Robert B. (1 de junio de 1973). "La teoría del campo (φ4)2 como modelo clásico de Ising". Communications in Mathematical Physics . 33 (2): 145–164. Bibcode :1973CMaPh..33..145S. CiteSeerX  10.1.1.210.9639 . doi :10.1007/BF01645626. ISSN  1432-0916. S2CID  123201243.
2. Aizenman, Michael; Duminil-Copin, Hugo (1 de julio de 2021). "Trivialidad marginal de los límites de escala de los modelos críticos 4D de Ising y $\phi_4^4$". Anales de Matemáticas . 194 (1). arXiv : 1912.07973 . doi :10.4007/annals.2021.194.1.3. ISSN  0003-486X. S2CID  209386716.
3. Una referencia general para esta sección es Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Segunda edición). EE. UU.: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3..
4. Véase la referencia anterior o, para más detalles, Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard (24 de febrero de 2006). Teoría cuántica de campos . Dover..
5. DJE Callaway (1988). "Búsqueda de trivialidades: ¿pueden existir partículas escalares elementales?". Physics Reports . 167 (5): 241–320. Bibcode :1988PhR...167..241C. doi :10.1016/0370-1573(88)90008-7.
6. Una descripción básica de la ruptura espontánea de la simetría se puede encontrar en las dos referencias anteriores o en la mayoría de los otros libros de teoría cuántica de campos.
7. Schwartz, Teoría cuántica de campos y modelo estándar, Capítulo 28.1
8. Marco Frasca (2011). "Soluciones exactas de ecuaciones de campo escalares clásicas". Journal of Nonlinear Mathematical Physics . 18 (2): 291–297. arXiv : 0907.4053 . Bibcode :2011JNMP...18..291F. doi :10.1142/S1402925111001441. S2CID  17314344.

Lectura adicional

• 't Hooft, G. , "La base conceptual de la teoría cuántica de campos" (versión en línea).