Función positiva definida

Función bimodal

En matemáticas , una función positiva definida es, dependiendo del contexto, cualquiera de dos tipos de función .

Definición 1

Sea el conjunto de números reales y sea el conjunto de números complejos . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Una función se llama semidefinida positiva si para todos los números reales x ₁ , …, x _n la matriz n  ×  n ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})}$

es una matriz semidefinida positiva . ^{[ cita requerida ]}

Por definición, una matriz semidefinida positiva, como , es hermítica ; por lo tanto, f (− x ) es el conjugado complejo de f ( x )). ${\displaystyle A}$

En particular, es necesario (pero no suficiente) que

${\displaystyle f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)}$

(Estas desigualdades se derivan de la condición para n = 1, 2.)

Una función es semidefinida negativa si se invierte la desigualdad. Una función es definida si la desigualdad débil se reemplaza por una desigualdad fuerte (<, > 0).

Ejemplos

Si es un espacio de producto interno real , entonces , es definido positivo para cada : para todos y todos tenemos ${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}$

Como las combinaciones lineales no negativas de funciones definidas positivas son a su vez definidas positivas, la función coseno es definida positiva como una combinación lineal no negativa de las funciones anteriores:

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).}$

Se puede crear una función definida positiva fácilmente a partir de una función definida positiva para cualquier espacio vectorial : elija una función lineal y defina . Luego ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{*}:=f\circ \phi }$

${\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,}$

donde donde son distintos ya que es lineal . ^[1] ${\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}$ ${\displaystyle \phi }$

Teorema de Bochner

La definición positiva surge naturalmente en la teoría de la transformada de Fourier ; se puede ver directamente que para ser definida positiva es suficiente que f sea la transformada de Fourier de una función g en la línea real con g ( y ) ≥ 0.

El resultado inverso es el teorema de Bochner , que establece que cualquier función positiva definida continua en la línea real es la transformada de Fourier de una medida (positiva) . ^[2]

Aplicaciones

En estadística , y especialmente en estadística bayesiana , el teorema se aplica generalmente a funciones reales. Normalmente, se toman n mediciones escalares de algún valor escalar en puntos en y se requiere que los puntos que están mutuamente cercanos tengan mediciones que estén altamente correlacionadas. En la práctica, se debe tener cuidado para asegurar que la matriz de covarianza resultante (una matriz n  ×  n ) sea siempre definida positiva. Una estrategia es definir una matriz de correlación A que luego se multiplica por un escalar para dar una matriz de covarianza : esta debe ser definida positiva. El teorema de Bochner establece que si la correlación entre dos puntos depende solo de la distancia entre ellos (a través de la función f ), entonces la función f debe ser definida positiva para asegurar que la matriz de covarianza A sea definida positiva. Véase Kriging . ${\displaystyle R^{d}}$

En este contexto, normalmente no se utiliza la terminología de Fourier y en su lugar se afirma que f ( x ) es la función característica de una función de densidad de probabilidad (PDF) simétrica .

Generalización

Se pueden definir funciones definidas positivas en cualquier grupo topológico abeliano localmente compacto ; el teorema de Bochner se extiende a este contexto. Las funciones definidas positivas en grupos ocurren naturalmente en la teoría de representación de grupos en espacios de Hilbert (es decir, la teoría de representaciones unitarias ).

Definición 2

Alternativamente, una función se llama definida positiva en un entorno D del origen si y para cada valor distinto de cero . ^{[3] [4]} ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(x)>0}$ ${\displaystyle x\in D}$

Téngase en cuenta que esta definición entra en conflicto con la definición 1 dada anteriormente.

En física, requisito que a veces se omite (véase, por ejemplo, Corney y Olsen ^[5] ). ${\displaystyle f(0)=0}$

Véase también

• Definitividad positiva
• Núcleo positivo definido

Referencias

• Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Análisis armónico en semigrupos , GTM, Springer Verlag.
• Z. Sasvári, Funciones positivas definidas y definibles , Akademie Verlag, 1994
• pozos, JH; Williams, LR Incrustaciones y extensiones en análisis . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, Nueva York-Heidelberg, 1975. vii+108 págs.

Notas

1. Cheney, Elliot Ward (2009). Un curso de teoría de aproximación. American Mathematical Society. pp. 77–78. ISBN 9780821847985. Recuperado el 3 de febrero de 2022 .
2. Bochner, Salomon (1959). Lecciones sobre integrales de Fourier . Princeton University Press.
3. Verhulst, Ferdinand (1996). Ecuaciones diferenciales no lineales y sistemas dinámicos (2.ª ed.). Springer. ISBN 3-540-60934-2.
4. Hahn, Wolfgang (1967). Estabilidad del movimiento . Springer.
5. Corney, JF; Olsen, MK (19 de febrero de 2015). "Estados puros no gaussianos y funciones de Wigner positivas". Physical Review A . 91 (2): 023824. arXiv : 1412.4868 . Bibcode :2015PhRvA..91b3824C. doi :10.1103/PhysRevA.91.023824. ISSN  1050-2947. S2CID  119293595.

Enlaces externos

• "Función positiva definida", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]