Matemáticas de lotería

Las matemáticas de la lotería se utilizan para calcular las probabilidades de ganar o perder un juego de lotería . Se basan principalmente en la combinatoria , en particular en la fórmula de doce números y en las combinaciones sin reemplazo .

Probabilities of winning or losing a lottery game

Elegir 6 de 49

En un juego típico de 6/49, cada jugador elige seis números distintos de un rango del 1 al 49. Si los seis números de un boleto coinciden con los números sorteados por la lotería, el poseedor del boleto gana el premio mayor , independientemente del orden de los números. La probabilidad de que esto ocurra es de 1 en 13.983.816.

La probabilidad de ganar se puede demostrar de la siguiente manera: el primer número extraído tiene una probabilidad de 1 entre 49 de coincidir. Cuando se extrae el segundo número, quedan solo 48 bolas en la bolsa, porque las bolas se extraen sin reposición . Por lo tanto, ahora hay una probabilidad de 1 entre 48 de predecir este número.

Así, por cada una de las 49 formas de escoger el primer número, hay 48 formas diferentes de escoger el segundo. Esto significa que la probabilidad de predecir correctamente 2 números extraídos del 49 en el orden correcto se calcula como 1 en 49 × 48. Al sacar el tercer número, solo hay 47 formas de elegir el número; pero podríamos haber llegado a este punto de cualquiera de las 49 × 48 formas, por lo que las probabilidades de predecir correctamente 3 números extraídos del 49, nuevamente en el orden correcto, es de 1 en 49 × 48 × 47. Esto continúa hasta que se extrae el sexto número, lo que da el cálculo final, 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44, que también se puede escribir como o 49 factorial dividido por 43 factorial o FACT(49)/FACT(43) o simplemente PERM(49,6). ${\displaystyle {49! \over (49-6)!}}$

608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000 / 60415263063373835637355132068513997507264512000000000 = 10 068347520

Esto equivale a 10.068.347.520, una cifra mucho mayor que los ~14 millones indicados anteriormente.

Perm(49,6)=10068347520 y 49 nPr 6 =10068347520.

Sin embargo, el orden de los 6 números no es significativo para el pago. Es decir, si un boleto tiene los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, gana siempre que se extraigan todos los números del 1 al 6, sin importar en qué orden salgan. En consecuencia, dada cualquier combinación de 6 números, hay 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 ! o 720 órdenes en los que pueden extraerse. Dividiendo 10.068.347.520 por 720 se obtiene 13.983.816, también escrito como , o COMBIN(49,6) o 49 nCr 6 o de manera más general como ${\displaystyle {49! \over 6!*(49-6)!}}$

${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$, donde n es el número de alternativas y k es el número de opciones. Hay más información disponible en coeficiente binomial y coeficiente multinomial .

Esta función se denomina función de combinación , COMBIN(n,k) . En el resto de este artículo, utilizaremos la notación . "Combinación" significa el grupo de números seleccionados, independientemente del orden en el que se extraen. Una combinación de números se presenta normalmente en orden ascendente. Un séptimo número sorteado eventual, la reserva o bonus, se presenta al final. ${\displaystyle {n \choose k}}$

Un método alternativo para calcular las probabilidades es observar que la probabilidad de que la primera bola corresponda a una de las seis elegidas es 6/49; la probabilidad de que la segunda bola corresponda a una de las cinco restantes elegidas es 5/48; y así sucesivamente. Esto produce una fórmula final de

${\displaystyle {n \choose k}={49 \choose 6}={49 \over 6}*{48 \over 5}*{47 \over 4}*{46 \over 3}*{45 \over 2}*{44 \over 1}}$

A menudo se extrae una séptima bola como bola de reserva; en el pasado solo había una segunda oportunidad para acertar 5+1 números con 6 números jugados.

Probabilidades de obtener otras posibilidades al elegir 6 de 49

Se debe dividir el número de combinaciones que producen el resultado dado por el número total de combinaciones posibles (por ejemplo, ). El numerador equivale al número de formas de seleccionar los números ganadores multiplicado por el número de formas de seleccionar los números perdedores. ${\displaystyle {49 \choose 6}=13,983,816}$

Para una puntuación de n (por ejemplo, si 3 opciones coinciden con tres de las 6 bolas extraídas, entonces n = 3), describe las probabilidades de seleccionar n números ganadores de los 6 números ganadores. Esto significa que hay 6 - n números perdedores, que se eligen de los 43 números perdedores de maneras. El número total de combinaciones que dan ese resultado es, como se indicó anteriormente, el primer número multiplicado por el segundo. La expresión es, por lo tanto , . ${\displaystyle {6 \choose n}}$ ${\displaystyle {43 \choose 6-n}}$ ${\displaystyle {6 \choose n}{43 \choose 6-n} \over {49 \choose 6}}$

Esto se puede escribir de forma general para todas las loterías como:

$${\displaystyle {K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

donde es el número de bolas en la lotería, es el número de bolas en un solo boleto y es el número de bolas coincidentes para un boleto ganador. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$

La generalización de esta fórmula se llama distribución hipergeométrica .

Esto da los siguientes resultados:

Cuando se extrae un séptimo número como número extra, entonces tenemos 49!/6!/1!/42!.=combin(49,6)*combin(49-6,1)=601304088 posibles resultados de sorteo diferentes.

Se esperaría obtener 3 de 6 o más una vez en alrededor de 36,19 sorteos. Tenga en cuenta que se necesita una rueda de 3 de 6 de 163 combinaciones para estar seguro de obtener al menos un puntaje de 3/6.

1/p cambia cuando se juegan varias combinaciones distintas juntas. En general, se trata de ganar algo, no solo el premio mayor.

Asegurarse de ganar el premio mayor

Solo existe una forma conocida de asegurarse de ganar el premio mayor: comprar al menos un boleto de lotería por cada combinación de números posible. Por ejemplo, hay que comprar 13.983.816 boletos diferentes para asegurarse de ganar el premio mayor en un juego de 6/49.

Las organizaciones de lotería cuentan con leyes, normas y salvaguardas para evitar que los jugadores realicen este tipo de operaciones. Además, ganar el premio gordo comprando todas las combinaciones posibles no garantiza que se alcance el punto de equilibrio o que se obtengan beneficios.

Si es la probabilidad de ganar; el costo de un boleto; el costo de obtener un boleto (por ejemplo, incluida la logística); costos únicos para la operación (como configurar y realizar la operación); entonces el premio mayor debe contener al menos ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c_{t}}$ ${\displaystyle c_{l}}$ ${\displaystyle c_{f}}$ ${\displaystyle m_{j}}$

${\displaystyle m_{j}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}}$

para tener al menos una oportunidad de alcanzar el punto de equilibrio.

La "posibilidad de alcanzar el punto de equilibrio" teórica antes mencionada se ve ligeramente compensada por la suma de las pequeñas ganancias también incluidas en todos los billetes de lotería: ${\displaystyle \sum _{i}{}m_{i}}$

${\displaystyle m_{j}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}m_{i}}$

De todas formas, incluso si se cumple la relación anterior, no se garantiza el punto de equilibrio. El pago depende de la cantidad de boletos ganadores para todos los premios , lo que da como resultado la relación ${\displaystyle n_{x}}$

${\displaystyle {\frac {m_{j}}{n_{j}}}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}{\frac {m_{i}}{n_{i}}}}$

En probablemente las únicas operaciones conocidas exitosas ^[1], el umbral para ejecutar una operación se estableció en tres veces el costo de los boletos solamente por razones desconocidas.

${\displaystyle m_{j}\geq 3\times {\frac {c_{t}}{p}}}$

Es decir

${\displaystyle {\frac {n_{j}p}{c_{t}}}\left(c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}{\frac {m_{i}}{n_{i}}}\right)\ll 3}$

Sin embargo, esto no elimina todos los riesgos de no obtener ganancias. El éxito de las operaciones dependía aún de un poco de suerte. Además, en una operación falló la logística y no se pudieron obtener todas las combinaciones. Esto añadió el riesgo de no ganar ni siquiera el premio gordo.

Powerballs y bolas de bonificación

Muchas loterías tienen un Powerball (o "bola extra"). Si el Powerball se extrae de un grupo de números diferente al de la lotería principal, las probabilidades se multiplican por la cantidad de Powerballs. Por ejemplo, en la lotería 6 de 49, dados 10 números Powerball, entonces las probabilidades de obtener una puntuación de 3 y el Powerball serían de 1 en 56,66 × 10, o 566,6 (la probabilidad se dividiría por 10, para dar un valor exacto de ). Otro ejemplo de un juego de este tipo es Mega Millions , aunque con diferentes probabilidades de premio mayor. ${\textstyle {\frac {8815}{4994220}}}$

Cuando se extrae más de 1 Powerball de un grupo de bolas separado de la lotería principal (por ejemplo, en el juego Euromillones ), las probabilidades de que los diferentes puntajes posibles de Powerball coincidan se calculan utilizando el método que se muestra en la sección " otros puntajes " más arriba (en otras palabras, los Powerball son como una mini-lotería en sí mismos), y luego se multiplican por las probabilidades de lograr el puntaje requerido en la lotería principal.

Si el Powerball se extrae del mismo grupo de números que la lotería principal, entonces, para una puntuación objetivo dada, la cantidad de combinaciones ganadoras incluye el Powerball. Para los juegos basados ​​en la lotería canadiense (como la lotería del Reino Unido ), después de que se extraen las 6 bolas principales, se extrae una bola adicional del mismo grupo de bolas, y esta se convierte en el Powerball (o "bola de bonificación"). Se otorga un premio adicional por acertar 5 bolas y la bola de bonificación. Como se describe en la sección " Otras puntuaciones " anterior, la cantidad de formas en que uno puede obtener una puntuación de 5 de un solo boleto es . Dado que la cantidad de bolas restantes es 43 y el boleto tiene 1 número sin acertar restante, ⁠ ${\textstyle {6 \choose 5}{43 \choose 1}=258}$1/43De estas 258 combinaciones , una acertará la siguiente bola extraída (la powerball), lo que deja 258/43 = 6 formas de lograrlo. Por lo tanto, las probabilidades de obtener una puntuación de 5 y la powerball son . ${\textstyle {6 \over {49 \choose 6}}={1 \over 2,330,636}}$

De las 258 combinaciones que coinciden con 5 de las 6 bolas principales, en 42/43 de ellas el número restante no coincidirá con el powerball, dando probabilidades de obtener una puntuación de 5 sin coincidir con el powerball. ${\textstyle {{258\cdot {\frac {42}{43}}} \over {49 \choose 6}}={\frac {3}{166,474}}\approx 1.802\times 10^{-5}}$

Usando el mismo principio, las probabilidades de obtener un puntaje de 2 y la bola de bonificación son para el puntaje de 2 multiplicado por la probabilidad de que uno de los cuatro números restantes coincida con la bola de bonificación, que es 4/43 . Como , la probabilidad de obtener el puntaje de 2 y la bola de bonificación es , probabilidades decimales aproximadas de 1 en 81,2. ${\textstyle {6 \choose 2}{43 \choose 4}=1,\!851,\!150}$ ${\textstyle 1,851,150\cdot {\frac {4}{43}}=172,\!200}$ ${\textstyle {\frac {172,200}{49 \choose 6}}={\frac {1025}{83237}}=1.231\%}$

La fórmula general para hacer coincidir bolas en una lotería de elección con una bola extra del grupo de bolas es: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\frac {{\frac {K-B}{N-K}}{K \choose B}{N-K \choose K-B}}{N \choose K}}}$$

La fórmula general para hacer coincidir bolas en una lotería de elección con cero bolas extra del grupo de bolas es: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {N-K-K+B \over N-K}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

La fórmula general para hacer coincidir bolas en una lotería de elección con una bola extra de un grupo de bolas separado es: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {1 \over P}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

La fórmula general para hacer coincidir bolas en una lotería de elección sin bola extra de un grupo de bolas separado es: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {P-1 \over P}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

Número mínimo de entradas para un partido

Calcular la cantidad mínima de billetes que se deben comprar para garantizar que al menos uno de ellos coincida con al menos dos números es un problema difícil (y a menudo abierto). En la lotería 5 de 90, la cantidad mínima de billetes que puede garantizar un billete con al menos dos coincidencias es 100. ^[2]

Resultados de la teoría de la información

Como espacio de probabilidad discreto , la probabilidad de cualquier resultado de lotería en particular es atómica , lo que significa que es mayor que cero. Por lo tanto, la probabilidad de cualquier evento es la suma de las probabilidades de los resultados del evento. Esto facilita el cálculo de cantidades de interés a partir de la teoría de la información . Por ejemplo, el contenido de información de cualquier evento es fácil de calcular mediante la fórmula

$${\displaystyle \operatorname {I} (E):=-\log {\left[\Pr {\left(E\right)}\right]}=-\log {\left(P\right)}.}$$

En particular, el contenido de información del resultado de la variable aleatoria discreta es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}(x):=-\log {\left[p_{X}{\left(x\right)}\right]}=\log {\left({\frac {1}{p_{X}{\left(x\right)}}}\right)}.}$$

Por ejemplo, ganar en el ejemplo § Elegir 6 de 49 anterior es una variable aleatoria distribuida según Bernoulli con un ⁠ ${\displaystyle X}$1/13.983.816⁠ posibilidad de ganar ("éxito") Escribimos con y . El contenido informativo de ganar es ${\textstyle X\sim \mathrm {Bernoulli} \!\left(p\right)=\mathrm {B} \!\left(1,p\right)}$ ${\textstyle p={\tfrac {1}{13,983,816}}}$ ${\textstyle q={\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}}$

$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}({\text{win}})=-\log _{2}{p_{X}{({\text{win}})}}=-\log _{2}\!{\tfrac {1}{13,983,816}}\approx 23.73725}$$Shannons o bits de información. (Ver unidades de información para una explicación más detallada de la terminología). El contenido de información de la pérdida es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{X}({\text{lose}})&=-\log _{2}{p_{X}{({\text{lose}})}}=-\log _{2}\!{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\\&\approx 1.0317\times 10^{-7}{\text{ shannons}}.\end{aligned}}}$$

La entropía de información de una distribución de probabilidad de lotería también es fácil de calcular como el valor esperado del contenido de información.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {H} (X)&=\sum _{x}{-p_{X}{\left(x\right)}\log {p_{X}{\left(x\right)}}}\ &=\sum _{x}{p_{X}{\left(x\right)}\operatorname {I} _{X}(x)}\\&{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \mathbb {E} {\left[\operatorname {I} _{X}(x)\right]}\end{alignedat}}}$$

A menudo, la variable aleatoria de interés en la lotería es un ensayo de Bernoulli . En este caso, se puede utilizar la función de entropía de Bernoulli . Si se utiliza la función de entropía de Shannon de 6 de 49 para representar la victoria en la lotería, se obtiene la entropía de Shannon de 6 de 49 anterior. ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} (X)&=-p\log(p)-q\log(q)=-{\tfrac {1}{13,983,816}}\log \!{\tfrac {1}{13,983,816}}-{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\log \!{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\\&\approx 1.80065\times 10^{-6}{\text{ shannons.}}\end{aligned}}}$

Referencias

1. El hombre que ganó la lotería 14 veces [1]
2. Z. Füredi , GJ Székely y Z. Zubor (1996). "Sobre el problema de la lotería". Journal of Combinatorial Designs . 4 (1): 5–10. doi :10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:1<5::aid-jcd2>3.3.co;2-w.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)[2]

Enlaces externos

• Análisis de Euler de la lotería genovesa – Convergencia (agosto de 2010), Asociación Matemática de América
• Matemáticas de lotería – Editorial INFAROM
• 13.983.816 y la lotería: vídeo de YouTube con James Clewett, Numberphile, marzo de 2012