Por partes

Función definida por múltiples subfunciones

Gráfico de la función lineal por partes ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.}$

En matemáticas , una función definida por partes (también llamada función por partes , función híbrida o definición por casos ) es una función definida por múltiples subfunciones, donde cada subfunción se aplica a un intervalo diferente en el dominio. ^{[1] [2] [3]} La definición por partes es en realidad una forma de expresar la función, en lugar de una característica de la función en sí.

Una noción distinta, pero relacionada, es la de una propiedad que se cumple por partes para una función, que se utiliza cuando el dominio se puede dividir en intervalos en los que se cumple la propiedad. A diferencia de la noción anterior, esto es en realidad una propiedad de la función misma. Como ejemplo se muestra una función lineal por tramos (que resulta ser también continua).

Notación e interpretación

Gráfica de la función de valor absoluto, ${\displaystyle y=|x|}$

Las funciones por partes se pueden definir utilizando la notación funcional común , donde el cuerpo de la función es una matriz de funciones y subdominios asociados. Estos subdominios juntos deben cubrir todo el dominio ; a menudo también se requiere que sean separados por pares, es decir, que formen una partición del dominio. ^[4] Para que la función general se llame "por partes", generalmente se requiere que los subdominios sean intervalos (algunos pueden ser intervalos degenerados, es decir, puntos únicos o intervalos ilimitados). Para intervalos acotados, se requiere que el número de subdominios sea finito; para intervalos ilimitados, a menudo solo se requiere que sea localmente finito. Por ejemplo, considere la definición por partes de la función de valor absoluto : ^[2]

$${\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}}$$

Para todos los valores menores que cero, se utiliza la primera subfunción ( ), que niega el signo del valor de entrada, haciendo que los números negativos sean positivos. Para todos los valores mayores o iguales a cero, se utiliza la segunda subfunción ( ) , que se evalúa trivialmente como el valor de entrada en sí. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

La siguiente tabla documenta la función de valor absoluto en ciertos valores de : ${\displaystyle x}$

Para evaluar una función definida por partes en un valor de entrada dado, se debe elegir el subdominio apropiado para seleccionar la subfunción correcta y producir el valor de salida correcto.

Continuidad y diferenciabilidad de funciones definidas por partes.

Gráfico de la función cuadrática por partes Su única discontinuidad está en . ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.}$ ${\displaystyle x_{0}=0.707}$

Una función definida por partes es continua en un intervalo dado en su dominio si se cumplen las siguientes condiciones:

• sus subfunciones son continuas en los intervalos correspondientes (subdominios),
• no hay discontinuidad en un punto final de ningún subdominio dentro de ese intervalo.

La función representada, por ejemplo, es continua por partes en todos sus subdominios, pero no es continua en todo el dominio, ya que contiene una discontinuidad de salto en . El círculo relleno indica que en esta posición se utiliza el valor de la subfunción derecha. ${\displaystyle x_{0}}$

Para que una función definida por partes sea diferenciable en un intervalo dado en su dominio, deben cumplirse las siguientes condiciones además de las de continuidad anteriores:

• sus subfunciones son diferenciables en los intervalos abiertos correspondientes,
• las derivadas unilaterales existen en los puntos finales de todos los intervalos,
• en los puntos donde se tocan dos subintervalos, coinciden las correspondientes derivadas unilaterales de los dos subintervalos vecinos.

Aplicaciones

En el análisis matemático aplicado, se ha descubierto que las funciones "regulares por partes" son consistentes con muchos modelos del sistema visual humano , donde las imágenes se perciben en una primera etapa como regiones suaves separadas por bordes. ^[5] En particular, los shearlets se han utilizado como sistema de representación para proporcionar escasas aproximaciones de esta clase de modelo en 2D y 3D.

Ejemplos comunes

• Función lineal por partes , una función compuesta de segmentos de línea
  • Función escalonada , una función compuesta de subfunciones constantes.
    • función de furgón ,
    • Función de paso pesado ^[2]
    • Función de signo
  • Valor absoluto ^[2]
  • función triangular
• Ley de potencia rota , una función compuesta por subfunciones de ley de potencia
• Spline , una función compuesta de subfunciones polinómicas, que posee un alto grado de suavidad en los lugares donde se conectan las piezas polinómicas.
  • B-spline
• PDIFF
• ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$y algunas otras funciones Bump comunes . Éstos son infinitamente diferenciables, pero la analiticidad sólo se cumple por partes.
• Las funciones continuas en los reales no necesitan ser acotadas o uniformemente continuas, pero siempre están acotadas por partes y uniformemente continuas por partes.

Ver también

• Continuación lineal por partes

Referencias

1. "Funciones por partes". www.mathsisfun.com . Consultado el 24 de agosto de 2020 .
2. Weisstein, Eric W. "Función por partes". mathworld.wolfram.com . Consultado el 24 de agosto de 2020 .
3. "Funciones por partes". brillante.org . Consultado el 29 de septiembre de 2020 .
4. Un requisito factible más débil es que todas las definiciones coincidan en los subdominios que se cruzan.
5. Kutyniok, Gitta ; Labate, Demetrio (2012). "Introducción a los shearlets" (PDF) . Shearlets . Birkhäuser : 1–38.Aquí: p.8