Función de peso

Construct related to weighted sums and averages

Una función de peso es un dispositivo matemático que se utiliza al realizar una suma, integral o promedio para dar a algunos elementos más "peso" o influencia en el resultado que otros elementos del mismo conjunto. El resultado de esta aplicación de una función de ponderación es una suma ponderada o promedio ponderado . Las funciones de ponderación ocurren con frecuencia en estadística y análisis , y están estrechamente relacionadas con el concepto de medida . Las funciones de peso se pueden emplear tanto en entornos discretos como continuos. Se pueden utilizar para construir sistemas de cálculo llamados "cálculo ponderado" ^[1] y "metacálculo". ^[2]

Pesos discretos

Definición general

En el entorno discreto, una función de peso es una función positiva definida en un conjunto discreto , que suele ser finito o contable . La función de peso corresponde a la situación no ponderada en la que todos los elementos tienen el mismo peso. Luego se puede aplicar este peso a varios conceptos. ${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle w(a):=1}$

Si la función es una función con valor real , entonces la suma no ponderada de on se define como ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a);}$

pero dada una función de peso , la suma ponderada o combinación cónica se define como ${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a)w(a).}$

Una aplicación común de sumas ponderadas surge en la integración numérica .

Si B es un subconjunto finito de A , se puede reemplazar la cardinalidad no ponderada | B | de B por la cardinalidad ponderada

${\displaystyle \sum _{a\in B}w(a).}$

Si A es un conjunto finito no vacío, se puede reemplazar la media o promedio no ponderado

${\displaystyle {\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)}$

por la media ponderada o promedio ponderado

${\displaystyle {\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.}$

En este caso sólo son relevantes los pesos relativos .

Estadísticas

Las medias ponderadas se utilizan comúnmente en estadística para compensar la presencia de sesgo . Para una cantidad medida varias veces de forma independiente con varianza , la mejor estimación de la señal se obtiene promediando todas las mediciones con peso , y la varianza resultante es menor que cada una de las mediciones independientes . El método de máxima verosimilitud pondera la diferencia entre el ajuste y los datos utilizando las mismas ponderaciones . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$ ${\textstyle w_{i}=1/{\sigma _{i}^{2}}}$ ${\textstyle \sigma ^{2}=1/\sum _{i}w_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$

El valor esperado de una variable aleatoria es el promedio ponderado de los valores posibles que podría tomar, siendo los pesos las probabilidades respectivas . De manera más general, el valor esperado de una función de una variable aleatoria es el promedio ponderado por probabilidad de los valores que toma la función para cada valor posible de la variable aleatoria.

En regresiones en las que se supone que la variable dependiente se ve afectada por los valores actuales y rezagados (pasados) de la variable independiente , se estima una función de rezago distribuida , siendo esta función un promedio ponderado de los valores actuales y de varias variables independientes rezagadas. De manera similar, un modelo de promedio móvil especifica una variable en evolución como un promedio ponderado de los valores actuales y varios valores rezagados de una variable aleatoria.

Mecánica

La terminología función de peso surge de la mecánica : si uno tiene una colección de objetos en una palanca , con pesos (donde el peso ahora se interpreta en el sentido físico) y ubicaciones , entonces la palanca estará en equilibrio si el punto de apoyo de la palanca está en el centro de masa ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

que también es el promedio ponderado de las posiciones . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$

Pesos continuos

En el entorno continuo, un peso es una medida positiva , como en algún dominio , que normalmente es un subconjunto de un espacio euclidiano ; por ejemplo, podría ser un intervalo . Aquí está la medida de Lebesgue y es una función mensurable no negativa . En este contexto, la función de peso a veces se denomina densidad . ${\displaystyle w(x)\,dx}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle w\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle w(x)}$

Definición general

Si es una función con valor real , entonces la integral no ponderada ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ dx}$

se puede generalizar a la integral ponderada

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx}$

Tenga en cuenta que es posible que sea necesario exigir que sea absolutamente integrable con respecto al peso para que esta integral sea finita. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w(x)\,dx}$

Volumen ponderado

Si E es un subconjunto de , entonces el volumen vol( E ) de E se puede generalizar al volumen ponderado ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{E}w(x)\ dx,}$

Peso promedio

Si tiene un volumen ponderado finito distinto de cero, entonces podemos reemplazar el promedio no ponderado ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx}$

por el promedio ponderado

${\displaystyle {\frac {\int _{\Omega }f(x)\,w(x)\,dx}{\int _{\Omega }w(x)\,dx}}}$

forma bilineal

Si y son dos funciones, se puede generalizar la forma bilineal no ponderada ${\displaystyle f\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle g\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx}$

a una forma bilineal ponderada

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)\ dx.}$

Consulte la entrada sobre polinomios ortogonales para ver ejemplos de funciones ortogonales ponderadas .

Ver también

• Centro de masa
• Integracion numerica
• Ortogonalidad
• media ponderada
• Combinación lineal
• Núcleo (estadísticas)
• Medida (matemáticas)
• Integral de Riemann-Stieltjes
• Ponderación
• Función de ventana

Referencias

1. Jane Grossman, Michael Grossman, Robert Katz. Los primeros sistemas de cálculo diferencial e integral ponderado, ISBN  0-9771170-1-4 , 1980.
2. Jane Grossman.Metacálculo: diferencial e integral, ISBN 0-9771170-2-2 , 1981.