numero poligonal

En matemáticas , un número poligonal es un número representado como puntos o guijarros dispuestos en forma de un polígono regular . Los puntos se consideran alfa (unidades). Estos son un tipo de números figurados bidimensionales .

Definición y ejemplos

El número 10, por ejemplo, se puede organizar como un triángulo (ver número triangular ):

Pero 10 no se puede ordenar como un cuadrado . El número 9, en cambio, puede ser (ver número cuadrado ):

Algunos números, como el 36, se pueden organizar tanto como un cuadrado como un triángulo (ver número cuadrado triangular ):

Por convención, 1 es el primer número poligonal para cualquier número de lados. La regla para ampliar el polígono al siguiente tamaño es extender dos brazos adyacentes en un punto y luego agregar los lados adicionales necesarios entre esos puntos. En los siguientes diagramas, cada capa adicional se muestra en rojo.

Números triangulares

Números cuadrados

Los polígonos con mayor número de lados, como pentágonos y hexágonos, también se pueden construir según esta regla, aunque los puntos ya no formarán una red perfectamente regular como arriba.

números pentagonales

Números hexagonales

Fórmula

Si $s$ es el número de lados de un polígono, la fórmula para el $n$ - ésimo número $s -gonal$ $P (s, n)$ es

P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}

P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n

El número $n$ ésimo $s$ -gonal también está relacionado con los números triangulares $T n$ de la siguiente manera: ^[1]

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.

De este modo:

{\begin{alineado}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P( s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,,\\P(s+k,n)-P(s,n)&= kT_{n-1}=k{\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}

Para un número $s -gonal dado$ $P (s, n) = x$ , se puede encontrar $n$ mediante

n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}

y se puede encontrar $s$ por

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {xn}{n-1}}

Todo número hexagonal es también un número triangular.

Aplicando la fórmula anterior:

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n

al caso de 6 lados da:

P(6,n)=4T_{n-1}+n

pero desde:

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}

resulta que:

P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-2)}{2}}=T_{2n-1}

Esto muestra que el $n.ésimo$ número hexagonal $P (6, n)$ es también el $(2 n - 1)$ .ésimo número triangular $T 2 n -1$ . Podemos encontrar cada número hexagonal simplemente tomando los números triangulares impares: ^[1]

1 , 3, 6 , 10, 15 , 21, 28 , 36, 45 , 55, 66 , ...

tabla de valores

Los primeros 6 valores en la columna "suma de recíprocos", para números triangulares a octogonales, provienen de una solución publicada al problema general, que también proporciona una fórmula general para cualquier número de lados, en términos de la función digamma . ^[2]

La Enciclopedia en línea de secuencias enteras evita términos que usan prefijos griegos (por ejemplo, "octagonal") en favor de términos que usan números (es decir, "8-gonal").

Una propiedad de esta tabla se puede expresar mediante la siguiente identidad (ver A086270):

2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),

con

k=0,1,2,3,...,s-3.

Combinaciones

Algunos números, como el 36, que es a la vez cuadrado y triangular, se dividen en dos conjuntos poligonales. El problema de determinar, dados dos conjuntos de este tipo, todos los números que pertenecen a ambos puede resolverse reduciendo el problema a la ecuación de Pell . El ejemplo más simple de esto es la secuencia de números triangulares cuadrados .

La siguiente tabla resume el conjunto de números $s$ -gonales $t$ -gonales para valores pequeños de $s$ y $t$ .

En algunos casos, como $s = 10$ y $t = 4$ , no hay números en ambos conjuntos distintos del 1.

El problema de encontrar números que pertenezcan a tres conjuntos poligonales es más difícil. Una búsqueda por computadora de números triangulares cuadrados pentagonales ha arrojado sólo el valor trivial de 1, aunque aún no se ha encontrado una prueba de que no existen otros números similares. ^[4]

El número 1225 es hecatonicositatragonal ( $s = 124$ ), hexacontagonal ( $s = 60$ ), icosienneagonal ( $s = 29$ ), hexagonal, cuadrado y triangular.

Con la excepción de que todo conjunto poligonal está contenido en el conjunto bigonal (números naturales), el único conjunto poligonal que se sabe que está contenido enteramente en otro conjunto poligonal es el conjunto de números hexagonales, que está contenido en el conjunto de números triangulares. números. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

Notas

^ ab Conway, John H .; Chico, Richard (6 de diciembre de 2012). El Libro de los Números . Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 38–41. ISBN 978-1-4612-4072-3.
^ abcdefgh "Sumas de recíprocos de números poligonales y un teorema de Gauss" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 15 de junio de 2011 . Consultado el 13 de junio de 2010 .
^ "Más allá del problema de Basilea: sumas de recíprocos de números figurados" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de mayo de 2013 . Consultado el 13 de mayo de 2010 .
^ Weisstein, Eric W. "Número triangular cuadrado pentagonal". MundoMatemático .

Referencias

El diccionario Penguin de números curiosos e interesantes , David Wells ( Penguin Books , 1997) [ ISBN 0-14-026149-4 ].
Números poligonales en PlanetMath
Weisstein, Eric W. "Números poligonales". MundoMatemático .
F. Tapson (1999). Diccionario de estudio de matemáticas de Oxford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9.

enlaces externos

"Número poligonal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Números poligonales: cada número s-poligonal entre 1 y 1000 en el que se puede hacer clic durante 2<=s<=337
Números poligonales en la cuadrícula espiral de Ulam en YouTube
Función de conteo de números poligonales: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853