Polinomio simétrico homogéneo completo

En matemáticas , específicamente en combinatoria algebraica y álgebra conmutativa , los polinomios simétricos homogéneos completos son un tipo específico de polinomios simétricos . Todo polinomio simétrico puede expresarse como una expresión polinómica en polinomios simétricos homogéneos completos.

Definición

El polinomio simétrico homogéneo completo de grado k en n variables X ₁ , ..., X _n , escrito h _k para k = 0, 1, 2, ... , es la suma de todos los monomios de grado total k en las variables. Formalmente,

${\displaystyle h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum _{1\leq i_{1}\leq i_{2}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}}.}$

La fórmula también se puede escribir como:

${\displaystyle h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum _{l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}=k \atop l_{i}\geq 0}X_{1}^{l_{1}}X_{2}^{l_{2}}\cdots X_{n}^{l_{n}}.}$

De hecho, l _p es simplemente la multiplicidad de p en la secuencia i _k .

Los primeros de estos polinomios son

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{0}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=1,\\[10px]h_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\h_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq k\leq n}X_{j}X_{k},\\h_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq k\leq l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l}.\end{aligned}}}$

Así, para cada entero no negativo k , existe exactamente un polinomio simétrico homogéneo completo de grado k en n variables.

Otra forma de reescribir la definición es realizar la suma sobre todas las secuencias i _k , sin condición de ordenamiento i _p ≤ i _{p + 1} :

${\displaystyle h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum _{1\leq i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\leq n}{\frac {m_{1}!m_{2}!\cdots m_{n}!}{k!}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

Aquí m _p es la multiplicidad del número p en la secuencia i _k .

Por ejemplo

${\displaystyle h_{2}(X_{1},X_{2})={\frac {2!0!}{2!}}X_{1}^{2}+{\frac {1!1!}{2!}}X_{1}X_{2}+{\frac {1!1!}{2!}}X_{2}X_{1}+{\frac {0!2!}{2!}}X_{2}^{2}=X_{1}^{2}+X_{1}X_{2}+X_{2}^{2}.}$

El anillo polinomial formado al tomar todas las combinaciones lineales integrales de productos de los polinomios simétricos homogéneos completos es un anillo conmutativo .

Ejemplos

A continuación se enumeran los n polinomios simétricos homogéneos completos básicos (como se explica a continuación) para los primeros tres valores positivos de n .

Para n = 1 :

${\displaystyle h_{1}(X_{1})=X_{1}\,.}$

Para n = 2 :

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2}\\h_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}^{2}+X_{1}X_{2}+X_{2}^{2}.\end{aligned}}}$

Para n = 3 :

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}\\h_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3}\\h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}+X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{2}^{2}X_{1}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{3}^{2}X_{1}+X_{3}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}X_{3}.\end{aligned}}}$

Propiedades

Función generadora

Los polinomios simétricos homogéneos completos se caracterizan por la siguiente identidad de series de potencias formales en t :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}\sum _{j=0}^{\infty }(X_{i}t)^{j}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-X_{i}t}}}$

(esto se llama función generadora , o serie generadora, para los polinomios simétricos homogéneos completos). Aquí cada fracción en la expresión final es la forma usual de representar la serie geométrica formal que es un factor en la expresión del medio. La identidad puede justificarse considerando cómo se forma el producto de esas series geométricas: cada factor en el producto se obtiene multiplicando juntos un término elegido de cada serie geométrica, y cada monomio en las variables X _i se obtiene para exactamente una de esas elecciones de términos, y viene multiplicado por una potencia de t igual al grado del monomio.

La fórmula anterior puede considerarse un caso especial del teorema maestro de MacMahon . El lado derecho puede interpretarse como donde y . En el lado izquierdo, se pueden identificar los polinomios simétricos homogéneos completos como casos especiales del coeficiente multinomial que aparece en la expresión de MacMahon. ${\displaystyle 1/\!\det(1-tM)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M={\text{diag}}(X_{1},\ldots ,X_{N})}$

Realizando algunos cálculos estándar, también podemos escribir la función generadora como que es la expansión en serie de potencias del exponencial pletístico de (y note que es precisamente el polinomio simétrico de suma de potencias j -ésima ). $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})\,t^{k}=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }(X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}){\frac {t^{j}}{j}}\right)}$$ ${\displaystyle (X_{1}+\cdots +X_{n})t}$ ${\displaystyle p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}}$

Relación con los polinomios simétricos elementales

Existe una relación fundamental entre los polinomios simétricos elementales y los homogéneos completos:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{m-i}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0,}$

que es válida para todos los m > 0 y cualquier número de variables n . La forma más fácil de ver que se cumple es a partir de una identidad de series de potencias formales en t para los polinomios simétricos elementales, análoga a la dada anteriormente para los homogéneos completos, que también se puede escribir en términos de exponenciales pletísticos como:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})(-t)^{k}=\prod _{i=1}^{n}(1-X_{i}t)=PE[-(X_{1}+\cdots +X_{n})t]}$

(esta es en realidad una identidad de polinomios en t , porque después de e _n ( X ₁ , ..., X _n ) los polinomios simétricos elementales se vuelven cero). Multiplicando esto por la función generadora para los polinomios simétricos homogéneos completos, se obtiene la serie constante 1 (equivalentemente, las exponenciales pletísticas satisfacen las propiedades usuales de una exponencial), y la relación entre los polinomios homogéneos elementales y completos se sigue de la comparación de coeficientes de t ^m . Una forma algo más directa de entender esa relación es considerar las contribuciones en la suma que involucra un monomio fijo X ^α de grado m . Para cualquier subconjunto S de las variables que aparecen con exponente distinto de cero en el monomio, hay una contribución que involucra el producto X _S de esas variables como término de e _s ( X ₁ , ..., X _n ) , donde s = # S , y el monomio ⁠Xα^​/X _S⁠ de h _{m − s} ( X ₁ , ..., X _n ) ; esta contribución tiene coeficiente (−1) ^s . La relación se deduce entonces del hecho de que

${\displaystyle \sum _{s=0}^{l}{\binom {l}{s}}(-1)^{s}=(1-1)^{l}=0\quad {\mbox{for }}l>0,}$

por la fórmula binomial , donde l < m denota el número de variables distintas que aparecen (con exponente distinto de cero) en X ^α . Como e ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) y h ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) son ambas iguales a 1, se puede aislar de la relación tanto el primer término como el último de la suma. El primero da una secuencia de ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})+e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}}$

y así sucesivamente, que permite expresar recursivamente los sucesivos polinomios simétricos homogéneos completos en términos de los polinomios simétricos elementales; esto último da un conjunto de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}}$

y así sucesivamente, lo que permite hacer lo inverso. Los primeros n polinomios simétricos homogéneos elementales y completos desempeñan papeles perfectamente similares en estas relaciones, aunque los primeros polinomios se vuelven entonces cero, mientras que los últimos no. Este fenómeno se puede entender en el contexto del anillo de funciones simétricas . Tiene un automorfismo de anillo que intercambia las sucesiones de las n funciones simétricas homogéneas elementales y las primeras n funciones simétricas homogéneas completas .

El conjunto de polinomios simétricos homogéneos completos de grado 1 a n en n variables genera el anillo de polinomios simétricos en n variables. Más específicamente, el anillo de polinomios simétricos con coeficientes enteros es igual al anillo de polinomios integrales.

${\displaystyle \mathbb {Z} {\big [}h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big ]}.}$

Esto se puede formular diciendo que

${\displaystyle h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$

forman una base de trascendencia del anillo de polinomios simétricos en X ₁ , ..., X _n con coeficientes enteros (como también es cierto para los polinomios simétricos elementales). Lo mismo es cierto con el anillo de enteros reemplazado por cualquier otro anillo conmutativo . Estas afirmaciones se siguen de afirmaciones análogas para los polinomios simétricos elementales, debido a la posibilidad indicada de expresar cualquier tipo de polinomios simétricos en términos del otro tipo. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Relación con los números de Stirling

La evaluación en números enteros de polinomios homogéneos completos y polinomios simétricos elementales está relacionada con los números de Stirling :

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}(1,2,\ldots ,k)&=\left\{{\begin{matrix}n+k\\k\end{matrix}}\right\}\\e_{n}(1,2,\ldots ,k)&=\left[{k+1 \atop k+1-n}\right]\\\end{aligned}}}$

Relación con los polinomios simétricos monomiales

El polinomio h _k ( X ₁ , ..., X _n ) es también la suma de todos los polinomios simétricos monomiales distintos de grado k en X ₁ , ..., X _n , por ejemplo

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=\left(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}\right)+\left(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\right)+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\\end{aligned}}}$

Relación con sumas de potencias

Las identidades de Newton para polinomios simétricos homogéneos dan la fórmula recursiva simple

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}h_{k-i}p_{i},}$

donde y p _k es el polinomio simétrico de la suma de potencias k : , como arriba. ${\displaystyle h_{k}=h_{k}(X_{1},\dots ,X_{n})}$ ${\displaystyle p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=X_{1}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}}$

Para los pequeños tenemos ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\2h_{2}&=h_{1}p_{1}+p_{2},\\3h_{3}&=h_{2}p_{1}+h_{1}p_{2}+p_{3}.\\\end{aligned}}}$

Relación con tensores simétricos

Considérese un espacio vectorial n - dimensional V y un operador lineal M  : V → V con valores propios X ₁ , X ₂ , ..., X _n . Denotemos por Sym ^k ( V ) su k ésima potencia tensorial simétrica y M ^{Sym( k )} el operador inducido Sym ^k ( V ) → Sym ^k ( V ) .

Proposición:

${\displaystyle \operatorname {Trace} _{\operatorname {Sym} ^{k}(V)}\left(M^{\operatorname {Sym} (k)}\right)=h_{k}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}).}$

La prueba es fácil: considere una base propia e _i para M . La base en Sym ^k ( V ) puede ser indexada por secuencias i ₁ ≤ i ₂ ≤ ... ≤ i _k , de hecho, considere las simetrizaciones de

${\displaystyle e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}}$.

Todos estos vectores son vectores propios para M ^{Sym( k )} con valores propios

${\displaystyle X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

Por lo tanto, esta proposición es verdadera.

De manera similar, se pueden expresar polinomios simétricos elementales mediante trazas sobre potencias tensoriales antisimétricas. Ambas expresiones se incluyen en expresiones de polinomios de Schur como trazas sobre funtores de Schur , que pueden verse como la fórmula de caracteres de Weyl para GL( V ) .

Polinomio simétrico homogéneo completo con variables desplazadas en 1

Si reemplazamos las variables por , el polinomio simétrico se puede escribir como una combinación lineal de , para , ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle 1+X_{i}}$ ${\displaystyle h_{k}(1+X_{1},\ldots ,1+X_{n})}$ ${\displaystyle h_{j}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle 0\leq j\leq k}$

${\displaystyle h_{k}(1+X_{1},\ldots ,1+X_{n})=\sum _{j=0}^{k}{\binom {n+k-1}{k-j}}h_{j}(X_{1},\ldots ,X_{n}).}$

La prueba , como se encuentra en el Lema 3.5 de ^[1] , se basa en las propiedades combinatorias de las tuplas crecientes donde . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (i_{1},\ldots ,i_{k})}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}$

Véase también

• Polinomio simétrico
• Polinomio simétrico elemental
• Polinomio de Schur
• Las identidades de Newton
• Teorema maestro de MacMahon
• Anillo de funciones simétricas
• Teoría de la representación

Referencias

1. Gomezllata Marmolejo, Esteban (2022). La norma de un isomorfismo canónico de fibras lineales determinantes (Tesis). Universidad de Oxford.

• Cornelius, EF, Jr. (2011), Identidades para polinomios simétricos homogéneos completos , JP J. Algebra, Number Theory & Applications, Vol. 21, No. 1, 109-116.
• Macdonald, IG (1979), Funciones simétricas y polinomios de Hall . Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press.
• Macdonald, IG (1995), Funciones simétricas y polinomios de Hall , segunda edición, Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (libro de bolsillo, 1998). 
• Richard P. Stanley (1999), Combinatoria enumerativa , vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1