Polinomios de Chebyshev discretos

En matemáticas, los polinomios de Chebyshev discretos , o polinomios de Gram , son un tipo de polinomios ortogonales discretos utilizados en la teoría de aproximación , introducidos por Pafnuty Chebyshev ^[1] y redescubiertos por Gram . ^[2] Más tarde se descubrió que eran aplicables a varias propiedades algebraicas del momento angular de espín.

Definición elemental

El polinomio discreto de Chebyshev es un polinomio de grado n en x , para , construido de modo que dos polinomios de distinto grado sean ortogonales con respecto a la función de peso siendo la función delta de Dirac. Es decir, ${\displaystyle t_{n}^{N}(x)}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots ,N-1}$ $${\displaystyle w(x)=\sum _{r=0}^{N-1}\delta (x-r),}$$ ${\displaystyle \delta (\cdot )}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t_{n}^{N}(x)t_{m}^{N}(x)w(x)\,dx=0\quad {\text{ if }}\quad n\neq m.}$$

La integral de la izquierda es en realidad una suma debido a la función delta, y tenemos, $${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{m}^{N}(r)=0\quad {\text{ if }}\quad n\neq m.}$$

Por lo tanto, aunque es un polinomio en , solo sus valores en un conjunto discreto de puntos, tienen alguna importancia. Sin embargo, debido a que estos polinomios se pueden definir en términos de ortogonalidad con respecto a una función de peso no negativa, toda la teoría de polinomios ortogonales es aplicable. En particular, los polinomios son completos en el sentido de que ${\displaystyle t_{n}^{N}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0,1,2,\ldots ,N-1}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{n}^{N}(s)=0\quad {\text{ if }}\quad r\neq s.}$$

Chebyshev eligió la normalización para que $${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{n}^{N}(r)={\frac {N}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}(N^{2}-k^{2}).}$$

Esto corrige los polinomios por completo junto con la convención de signos, . ${\displaystyle t_{n}^{N}(N-1)>0}$

Si la variable independiente se escala linealmente y se desplaza de modo que los puntos finales asuman los valores y , entonces, como , multiplicado por una constante, donde es el polinomio de Legendre. ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle t_{n}^{N}(\cdot )\to P_{n}(\cdot )}$ ${\displaystyle P_{n}}$

Definición avanzada

Sea f una función suave definida en el intervalo cerrado [−1, 1], cuyos valores se conocen explícitamente solo en los puntos x _k  := −1 + (2 k − 1)/ m , donde k y m son números enteros y 1 ≤ k ≤ m . La tarea es aproximar f como un polinomio de grado n < m . Considérese una forma bilineal semidefinida positiva donde g y h son continuas en [−1, 1] y sea una seminorma discreta . Sea una familia de polinomios ortogonales entre sí siempre que i no sea igual a k . Supongamos que todos los polinomios tienen un coeficiente principal positivo y están normalizados de tal manera que $${\displaystyle \left(g,h\right)_{d}:={\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}{g(x_{k})h(x_{k})},}$$ $${\displaystyle \left\|g\right\|_{d}:=(g,g)_{d}^{1/2}}$$ ${\displaystyle \varphi _{k}}$ $${\displaystyle \left(\varphi _{k},\varphi _{i}\right)_{d}=0}$$ ${\displaystyle \varphi _{k}}$ $${\displaystyle \left\|\varphi _{k}\right\|_{d}=1.}$$

Se denominan polinomios discretos de Chebyshev (o de Gram). [ ^3] ${\displaystyle \varphi _{k}}$

Conexión con el Álgebra de Espín

Los polinomios discretos de Chebyshev tienen conexiones sorprendentes con varias propiedades algebraicas del espín: probabilidades de transición de espín, ^[4] las probabilidades de observaciones del espín en la versión de espín-s de Bohm del experimento de Einstein-Podolsky-Rosen , ^[5] y funciones de Wigner para varios estados de espín. ^[6]

En concreto, los polinomios resultan ser los vectores propios del cuadrado absoluto de la matriz de rotación (la matriz D de Wigner ). El valor propio asociado es el polinomio de Legendre , donde es el ángulo de rotación. En otras palabras, si donde son los estados propios habituales del momento angular o del espín, y entonces ${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle d_{mm'}=\langle j,m|e^{-i\theta J_{y}}|j,m'\rangle ,}$$ ${\displaystyle |j,m\rangle }$ $${\displaystyle F_{mm'}(\theta )=|d_{mm'}(\theta )|^{2},}$$ $${\displaystyle \sum _{m'=-j}^{j}F_{mm'}(\theta )\,f_{\ell }^{j}(m')=P_{\ell }(\cos \theta )f_{\ell }^{j}(m).}$$

Los vectores propios son versiones escaladas y desplazadas de los polinomios de Chebyshev. Se desplazan de modo que tengan soporte en los puntos en lugar de para con correspondiente a , y correspondiente a . Además, se pueden escalar de modo que obedezcan otras condiciones de normalización. Por ejemplo, se podría exigir que satisfagan junto con . ${\displaystyle f_{\ell }^{j}(m)}$ ${\displaystyle m=-j,-j+1,\ldots ,j}$ ${\displaystyle r=0,1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle t_{n}^{N}(r)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2j+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle f_{\ell }^{j}(m)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2j+1}}\sum _{m=-j}^{j}f_{\ell }^{j}(m)f_{\ell '}^{j}(m)=\delta _{\ell \ell '},}$$ ${\displaystyle f_{\ell }^{j}(j)>0}$

Referencias

1. Chebyshev, P. (1864), "Sur l'interpolation", Zapiski Akademii Nauk , 4 , Oeuvres Vol 1 p. 539–560
2. Gram, JP (1883), "Ueber die Entwickelung reeller Functionen in Reihen mittelst der Methode der kleinsten Quadrate", Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 1883 (94): 41–73, doi :10.1515/crll .1883.94.41, JFM  15.0321.03, S2CID  116847377
3. RW Barnard; G. Dahlquist; K. Pearce; L. Reichel; KC Richards (1998). "Polinomios de Gram y la función de Kummer". Journal of Approximation Theory . 94 : 128–143. doi : 10.1006/jath.1998.3181 .
4. A. Meckler (1958). "Fórmula de Majorana". Physical Review . 111 (6): 1447. Bibcode :1958PhRv..111.1447M. doi :10.1103/PhysRev.111.1447.
5. ND Mermin; GM Schwarz (1982). "Distribuciones conjuntas y realismo local en el experimento de Einstein-Podolsky-Rosen de espín superior". Fundamentos de la Física . 12 (2): 101. Bibcode :1982FoPh...12..101M. doi :10.1007/BF00736844. S2CID  121648820.
6. Anupam Garg (2022). "Los polinomios discretos de Chebyshev–Meckler–Mermin–Schwarz y el álgebra de espín". Revista de Física Matemática . 63 (7): 072101. Código Bibliográfico :2022JMP....63g2101G. doi :10.1063/5.0094575.