Polinomios ortogonales discretos

En matemáticas , una secuencia de polinomios ortogonales discretos es una secuencia de polinomios que son ortogonales por pares con respecto a una medida discreta. Algunos ejemplos son los polinomios discretos de Chebyshev , los polinomios de Charlier , los polinomios de Krawtchouk , los polinomios de Meixner , los polinomios duales de Hahn , los polinomios de Hahn y los polinomios de Racah .

Si la medida tiene un soporte finito, entonces la secuencia correspondiente de polinomios ortogonales discretos tiene solo un número finito de elementos. Los polinomios de Racah dan un ejemplo de esto.

Definición

Consideremos una medida discreta en algún conjunto con función de peso . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},\dots \}}$ ${\displaystyle \omega (x)}$

Una familia de polinomios ortogonales se denomina discreta si son ortogonales con respecto a (resp. ), es decir, ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \sum \limits _{x\in S}p_{n}(x)p_{m}(x)\omega (x)=\kappa _{n}\delta _{n,m},}$

¿Dónde está el delta de Kronecker ? ^[1] ${\displaystyle \delta _{n,m}}$

Observación

Cualquier medida discreta tiene la forma

${\displaystyle \mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}}$,

De esta forma se puede definir una función de peso mediante . ${\displaystyle \omega (s_{i})=a_{i}}$

Literatura

• Baik, Jinho; Kriecherbauer, T.; McLaughlin, KT-R.; Miller, PD (2007), Polinomios ortogonales discretos. Asintótica y aplicaciones, Annals of Mathematics Studies, vol. 164, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-12734-7, Sr.  2283089

Referencias

1. Arvesú, J.; Coussement, J.; Van Assche, Walter (2003). "Algunos polinomios ortogonales múltiples discretos". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 153 : 19–45.