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En geometría , una arista es un tipo particular de segmento de línea que une dos vértices en un polígono , poliedro o politopo de dimensiones superiores . [1] En un polígono, una arista es un segmento de línea en el límite, [2] y a menudo se llama lado del polígono . En un poliedro o, más generalmente, un politopo, una arista es un segmento de línea donde se encuentran dos caras (o lados del poliedro). [3] Un segmento que une dos vértices mientras pasa por el interior o el exterior no es una arista, sino que se llama diagonal .
Una arista también puede ser una línea infinita que separa dos semiplanos . [4] Los lados de un ángulo plano son semirrectas (o rayos) semiinfinitas . [5]
En teoría de grafos , una arista es un objeto abstracto que conecta dos vértices de grafos , a diferencia de las aristas de polígonos y poliedros que tienen una representación geométrica concreta como un segmento de línea. Sin embargo, cualquier poliedro puede representarse por su esqueleto o arista-esqueleto, un grafo cuyos vértices son los vértices geométricos del poliedro y cuyas aristas corresponden a las aristas geométricas. [6] Por el contrario, los grafos que son esqueletos de poliedros tridimensionales pueden caracterizarse por el teorema de Steinitz como exactamente los grafos planos conexos de 3 vértices . [7]
La superficie de cualquier poliedro convexo tiene característica de Euler.
donde V es el número de vértices , E es el número de aristas y F es el número de caras . Esta ecuación se conoce como fórmula del poliedro de Euler . Por lo tanto, el número de aristas es 2 menos que la suma de los números de vértices y caras. Por ejemplo, un cubo tiene 8 vértices y 6 caras, y por lo tanto 12 aristas.
En un polígono, dos aristas se encuentran en cada vértice ; de manera más general, por el teorema de Balinski , al menos d aristas se encuentran en cada vértice de un politopo convexo de dimensión d . [8] De manera similar, en un poliedro, exactamente dos caras bidimensionales se encuentran en cada arista, [9] mientras que en politopos de dimensiones superiores tres o más caras bidimensionales se encuentran en cada arista.
En la teoría de politopos convexos de alta dimensión , una faceta o lado de un politopo de dimensión d es una de sus características de dimensión ( d − 1), una cresta es una característica de dimensión ( d − 2) y un pico es una característica de dimensión ( d − 3). Por lo tanto, los bordes de un polígono son sus facetas, los bordes de un poliedro convexo tridimensional son sus crestas y los bordes de un politopo tetradimensional son sus picos. [10]
