En matemáticas, los polígonos de Moufang son una generalización de Jacques Tits de los planos de Moufang estudiados por Ruth Moufang , y son edificios irreducibles de rango dos que admiten la acción de grupos raíces. En un libro sobre el tema, Tits y Richard Weiss [1] los clasifican a todos. Un teorema anterior, demostrado independientemente por Tits y Weiss, [2] [3] mostraba que un polígono de Moufang debe ser un 3-gono, 4-gono, 6-gono u 8-gono generalizado, por lo que el propósito del libro antes mencionado era analizar estos cuatro casos.
Un 3-gono de Moufang se puede identificar con el gráfico de incidencia de un plano proyectivo de Moufang . En esta identificación, los puntos y líneas del plano corresponden a los vértices del edificio. Las formas reales de los grupos de Lie dan lugar a ejemplos que son los tres tipos principales de 3-gonos de Moufang. Hay cuatro álgebras de división reales : los números reales, los números complejos , los cuaterniones y los octoniones , de dimensiones 1, 2, 4 y 8, respectivamente. El plano proyectivo sobre tal álgebra de división da lugar entonces a un 3-gono de Moufang.
Estos planos proyectivos corresponden al edificio adosado a SL 3 ( R ), SL 3 ( C ), una forma real de A 5 y a una forma real de E 6 , respectivamente.
En el primer diagrama [ ¿se necesita una aclaración sobre qué diagrama? ] los nodos en círculos representan 1-espacios y 2-espacios en un espacio vectorial tridimensional. En el segundo diagrama [ ¿se necesita una aclaración sobre qué diagrama? ] los nodos en círculos representan 1-espacios y 2-espacios en un espacio vectorial tridimensional sobre los cuaterniones , que a su vez representan ciertos 2-espacios y 4-espacios en un espacio vectorial complejo hexadimensional, tal como se expresa mediante los nodos en círculos en el diagrama A 5. El cuarto caso —una forma de E 6— es excepcional, y su análogo para los 4-gonos de Moufang es una característica importante del libro de Weiss.
Pasando de los números reales a un cuerpo arbitrario, los 3-ágonos de Moufang se pueden dividir en tres casos como los anteriores. El caso de división en el primer diagrama existe sobre cualquier cuerpo. El segundo caso se extiende a todas las álgebras de división asociativas, no conmutativas; sobre los reales, estas se limitan al álgebra de cuaterniones, que tiene grado 2 (y dimensión 4), pero algunos cuerpos admiten álgebras de división central de otros grados. El tercer caso involucra álgebras de división "alternativas" (que satisfacen una forma debilitada de la ley asociativa), y un teorema de Richard Bruck y Erwin Kleinfeld [4] muestra que estas son álgebras de Cayley-Dickson. [5] Con esto concluye la discusión de los 3-ágonos de Moufang.
Los cuadrágonos de Moufang también se denominan cuadrángulos de Moufang. La clasificación de los cuadrágonos de Moufang fue la más difícil de todas y cuando Tits y Weiss comenzaron a escribirla, surgió un tipo hasta entonces inadvertido, que surgió de grupos del tipo F4. Se pueden dividir en tres clases:
Aquí hay cierta superposición, en el sentido de que algunos grupos clásicos que surgen de espacios pseudo-cuadráticos pueden obtenerse a partir de álgebras cuadrangulares (que Weiss llama especiales), pero hay otros que no son especiales. Los más importantes de ellos surgen de grupos algebraicos de tipos E6, E7 y E8. Son k-formas de grupos algebraicos que pertenecen a los siguientes diagramas: E6 E7 E8. El E6 existe sobre los números reales, aunque los E7 y E8 no. Weiss llama a las álgebras cuadrangulares en todos estos casos Weiss regulares, pero no especiales. Hay otro tipo que él llama defectuoso que surge de grupos de tipo F4. Estos son los más exóticos de todos -involucran extensiones de cuerpo puramente inseparables en la característica 2- y Weiss solo los descubrió durante el trabajo conjunto con Tits sobre la clasificación de los 4-gonos de Moufang al investigar una extraña laguna que no debería haber existido pero lo hizo.
La clasificación de los 4-ágonos de Moufang realizada por Tits y Weiss se relaciona con su interesante monografía de dos maneras. Una es que el uso de álgebras cuadrangulares acorta algunos de los métodos conocidos anteriormente. La otra es que el concepto es análogo a las álgebras de octoniones y las álgebras de división de Jordan cuadráticas de grado 3, que dan lugar a los 3-ágonos y 6-ágonos de Moufang.
De hecho, todos los planos, cuadrángulos y hexágonos de Moufang excepcionales que no surgen de "grupos mixtos" (de característica 2 para cuadrángulos o característica 3 para hexágonos) provienen de octoniones, álgebras cuadrangulares o álgebras de Jordan .
Los hexágonos de Moufang también se denominan hexágonos de Moufang. Tits [6] estableció una clasificación de los hexágonos de Moufang, aunque los detalles no se pudieron comprobar hasta el trabajo conjunto con Weiss sobre los polígonos de Moufang.
Los 8-ágonos de Moufang también se denominan octógonos de Moufang. Fueron clasificados por Tits [7], donde demostró que todos surgen de grupos Ree de tipo 2 F 4 .
Un uso potencial de las álgebras cuadrangulares es analizar dos cuestiones abiertas. Una es la conjetura de Kneser-Tits [8] que concierne al grupo completo de transformaciones lineales de un edificio (por ejemplo, GL n ) factorizado por el subgrupo generado por grupos de raíces (por ejemplo, SL n ).
La conjetura se demuestra para todos los edificios Moufang, excepto los hexagonales y tetragonales del tipo E8, en cuyo caso se supone que el grupo de transformaciones lineales es igual al subgrupo generado por los grupos de raíces. Para los hexágonos E8, esto se puede reformular como una pregunta sobre álgebras de Jordan cuadráticas, y para los cuadrángulos E8 se puede reformular ahora en términos de álgebras cuadrangulares.
Otra pregunta abierta acerca del cuadrángulo E8 concierne a los campos que son completos con respecto a una valoración discreta: ¿existe, en tales casos, un edificio afín que produce el cuadrángulo como su estructura en el infinito?