Zonogón

En geometría , un zonógono es un polígono convexo y simétrico centralmente . ^[1] Equivalentemente, es un polígono convexo cuyos lados se pueden agrupar en pares paralelos con longitudes iguales y orientaciones opuestas.

Ejemplos

Un polígono regular es un zonógono si y solo si tiene un número par de lados. ^[2] Por lo tanto, el cuadrado, el hexágono regular y el octógono regular son todos zonógonos. Los zonógonos de cuatro lados son el cuadrado, los rectángulos , los rombos y los paralelogramos .

Teselación y equidisección

Los zonógonos de cuatro y seis lados son paralelogonos capaces de teselar el plano mediante copias trasladadas de sí mismos, y todos los paralelógonos convexos tienen esta forma. ^[3]

Cada zonógono de lados puede ser teselado por paralelogramos . ^[4] (Para los zonógonos equiláteros, uno de lados puede ser teselado por rombos .) En este teselado, hay un paralelogramo por cada par de pendientes de lados en el zonógono de lados. Al menos tres de los vértices del zonógono deben ser vértices de solo uno de los paralelogramos en cualquier teselado de este tipo. ^[5] Por ejemplo, el octógono regular puede ser teselado por dos cuadrados y cuatro rombos de 45°. ^[6] ${\estilo de visualización 2n}$ ${\tbinom {n}{2}}$ ${\estilo de visualización 2n}$ ${\tbinom {n}{2}}$ ${\estilo de visualización 2n}$

En una generalización del teorema de Monsky , Paul Monsky (1990) demostró que ningún zonógono tiene una equidisección en un número impar de triángulos de áreas iguales. ^[7]^[8]

Otras propiedades

En un zonógono de dos lados, como máximo los pares de vértices pueden estar a una distancia unitaria entre sí. Existen zonógonos de dos lados con pares de vértices a una distancia unitaria. ^[9] ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización 2n-3}$ ${\estilo de visualización n}$ $2n-O({\sqrt {n}})$

Formas relacionadas

Los zonógonos son los análogos bidimensionales de los zonóedros tridimensionales y de los zonótopos de dimensiones superiores. Como tal, cada zonógono puede generarse como la suma de Minkowski de una colección de segmentos de línea en el plano. ^[1] Si no hay dos segmentos de línea generadores paralelos, habrá un par de aristas paralelas para cada segmento de línea. Cada cara de un zonógono es un zonógono, y cada zonógono es la cara de al menos un zonógono, el prisma sobre ese zonógono. Además, cada sección transversal plana a través del centro de un poliedro centralmente simétrico (como un zonógono) es un zonógono.

Referencias

^ ab Boltyanski, Vladimir; Martini, Horst; Soltan, PS (2012), Excursiones en la geometría combinatoria, Springer, pág. 319, ISBN 9783642592379
^ Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Geometría plana, H. Holt, pág. 121, Si un polígono regular tiene un número par de lados, su centro es un centro de simetría del polígono.
^ Alexandrov, AD (2005), Poliedros convexos , Springer, pág. 351, ISBN 9783540231585
^ Beck, József (2014), Aproximación diofántica probabilística: aleatoriedad en el conteo de puntos en red, Springer, pág. 28, ISBN 9783319107417
^ Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Olimpíadas matemáticas 1998-1999: problemas y soluciones de todo el mundo, Cambridge University Press, pág. 125, ISBN 9780883858035
^ Frederickson, Greg N. (1997), Disecciones: plano y fantasía, Cambridge University Press, Cambridge, pág. 10, doi :10.1017/CBO9780511574917, ISBN 978-0-521-57197-5, Sr. 1735254
^ Monsky, Paul (1990), "Una conjetura de Stein sobre disecciones planas", Mathematische Zeitschrift , 205 (4): 583–592, doi :10.1007/BF02571264, MR 1082876, S2CID 122009844
^ Stein, Sherman ; Szabó, Sandor (1994), Álgebra y mosaico: homomorfismos al servicio de la geometría , Carus Mathematical Monographs, vol. 25, Cambridge University Press, pág. 130, ISBN 9780883850282
^ Ábrego, Bernardo M.; Fernández-Merchant, Silvia (2002), "El problema de la distancia unitaria para polígonos convexos simétricos centralmente", Geometría discreta y computacional , 28 (4): 467–473, doi : 10.1007/s00454-002-2882-5 , MR 1949894