En geometría , un grupo de puntos bidimensional o grupo roseta es un grupo de simetrías geométricas ( isometrías ) que mantienen al menos un punto fijo en un plano. Cada uno de estos grupos es un subgrupo del grupo ortogonal O(2), incluido el propio O(2). Sus elementos son rotaciones y reflexiones, y cada uno de estos grupos que contiene solo rotaciones es un subgrupo del grupo ortogonal especial SO(2), incluido el propio SO(2). Ese grupo es isomorfo a R/Z y al primer grupo unitario , U(1), un grupo también conocido como el grupo del círculo .
Los grupos de puntos bidimensionales son importantes como base para los grupos de puntos tridimensionales axiales , con la adición de reflexiones en la coordenada axial. También son importantes en las simetrías de organismos, como las estrellas de mar y las medusas , y las partes de organismos, como las flores .
Hay dos familias de grupos de puntos bidimensionales discretos, y se especifican con el parámetro n , que es el orden del grupo de rotaciones en el grupo.
Intl se refiere a la notación de Hermann-Mauguin o notación internacional, que se utiliza a menudo en cristalografía . En el límite infinito, estos grupos se convierten en grupos lineales unidimensionales .
Si un grupo es una simetría de una red o rejilla bidimensional , entonces el teorema de restricción cristalográfica restringe el valor de n a 1, 2, 3, 4 y 6 para ambas familias. Por lo tanto, hay 10 grupos puntuales cristalográficos bidimensionales :
Los grupos pueden construirse de la siguiente manera:
Todos estos grupos tienen grupos abstractos distintos, excepto C 2 y D 1 , que comparten el grupo abstracto Z 2 . Todos los grupos cíclicos son abelianos o conmutativos, pero solo dos de los grupos diedros son: D 1 ~ Z 2 y D 2 ~ Z 2 ×Z 2 . De hecho, D 3 es el grupo no abeliano más pequeño.
Para n pares , el símbolo de Hermann-Mauguin n m es una abreviatura del símbolo completo n mm, como se explica a continuación. La n en el símbolo HM denota rotaciones de n pliegues, mientras que la m denota planos de reflexión o espejo.
Estos grupos se construyen fácilmente con matrices ortogonales bidimensionales .
El grupo cíclico continuo SO(2) o C ∞ y sus subgrupos tienen elementos que son matrices de rotación:
donde SO(2) tiene cualquier θ posible. No es sorprendente que SO(2) y sus subgrupos sean todos abelianos; la suma de los ángulos de rotación conmuta.
Para grupos cíclicos discretos C n , elementos C n k = R(2π k / n )
El grupo diedro continuo O(2) o D ∞ y sus subgrupos con reflexiones tienen elementos que incluyen no sólo matrices de rotación, sino también matrices de reflexión:
donde O(2) tiene cualquier θ posible. Sin embargo, los únicos subgrupos abelianos de O(2) con reflexiones son D 1 y D 2 .
Para grupos diedros discretos D n , elementos C n k σ = S(2π k / n )
Cuando se utilizan coordenadas polares, se hace evidente la relación de estos grupos con los grupos de simetría unidimensionales .
Tipos de subgrupos de SO(2):
Para cada subgrupo de SO(2) hay una clase correspondiente incontable de subgrupos de O(2) que son mutuamente isomorfos como grupo abstracto: cada uno de los subgrupos en una clase es generado por el subgrupo mencionado en primer lugar y una única reflexión en una línea que pasa por el origen. Estos son los grupos diedros (generalizados) , incluidos los finitos D n ( n ≥ 1) del tipo de grupo abstracto Dih n . Para n = 1 la notación común es C s , del tipo de grupo abstracto Z 2 .
Como subgrupos topológicos de O(2), sólo los grupos de isometría finitos y SO(2) y O(2) son cerrados.
Estos grupos se dividen en dos familias distintas, según consistan solo en rotaciones o incluyan reflexiones . Los grupos cíclicos , C n (tipo de grupo abstracto Z n ), consisten en rotaciones de 360°/ n y todos los múltiplos enteros. Por ejemplo, un taburete de cuatro patas tiene un grupo de simetría C 4 , que consiste en rotaciones de 0°, 90°, 180° y 270°. El grupo de simetría de un cuadrado pertenece a la familia de grupos diedros , D n (tipo de grupo abstracto Dih n ), que incluye tantas reflexiones como rotaciones. La simetría rotacional infinita del círculo implica también simetría de reflexión, pero formalmente el grupo del círculo S 1 es distinto de Dih(S 1 ) porque este último incluye explícitamente las reflexiones.
Un grupo infinito no necesita ser continuo; por ejemplo, tenemos un grupo de todos los múltiplos enteros de una rotación de 360°/ √ 2 , que no incluye la rotación de 180°. Dependiendo de su aplicación, la homogeneidad hasta un nivel de detalle arbitrario en una dirección transversal puede considerarse equivalente a una homogeneidad total en esa dirección, en cuyo caso estos grupos de simetría pueden ignorarse.
C n y D n para n = 1, 2, 3, 4 y 6 se pueden combinar con simetría traslacional, a veces de más de una manera. Por lo tanto, estos 10 grupos dan lugar a 17 grupos de papel tapiz .
Los grupos de simetría 2D corresponden a los grupos de isometría, excepto que la simetría según O(2) y SO(2) sólo se puede distinguir en el concepto de simetría generalizado aplicable a campos vectoriales .
Además, dependiendo de la aplicación, la homogeneidad hasta un detalle arbitrario en dirección transversal puede considerarse equivalente a la homogeneidad total en esa dirección. Esto simplifica enormemente la categorización: podemos restringirnos a los subgrupos topológicos cerrados de O(2): los finitos y O(2) ( simetría circular ), y para los campos vectoriales SO(2).
Estos grupos también corresponden a los grupos de simetría unidimensionales , cuando se envuelven en un círculo.
E (2) es un producto semidirecto de O (2) y el grupo de traducción T . En otras palabras, O (2) es un subgrupo de E (2) isomorfo al grupo cociente de E (2) por T :
Existe un homomorfismo de grupo sobreyectivo "natural" p : E (2) → E (2) / T , que envía cada elemento g de E (2) a la clase lateral de T a la que pertenece g , es decir: p ( g ) = gT , a veces llamado proyección canónica de E (2) sobre E (2) / T u O (2). Su núcleo es T .
Para cada subgrupo de E (2) podemos considerar su imagen bajo p : un grupo puntual constituido por las clases laterales a las que pertenecen los elementos del subgrupo, es decir, el grupo puntual obtenido ignorando las partes traslacionales de las isometrías. Para cada subgrupo discreto de E (2), debido al teorema de restricción cristalográfica , este grupo puntual es C n o de tipo D n para n = 1, 2, 3, 4 o 6.
C n y D n para n = 1, 2, 3, 4 y 6 se pueden combinar con simetría traslacional, a veces de más de una manera. Así, estos 10 grupos dan lugar a 17 grupos de papel pintado , y los cuatro grupos con n = 1 y 2, dan lugar también a 7 grupos de frisos .
Para cada uno de los grupos de papel tapiz p1, p2, p3, p4, p6, la imagen bajo p de todos los grupos de isometría (es decir, las "proyecciones" sobre E (2) / T o O (2) ) son todas iguales a los C n correspondientes ; también dos grupos de frisos corresponden a C 1 y C 2 .
Los grupos de isometría de p6m se asignan cada uno a uno de los grupos de puntos del tipo D 6 . Para los otros 11 grupos de papel tapiz, cada grupo de isometría se asigna a uno de los grupos de puntos de los tipos D 1 , D 2 , D 3 o D 4 . Además, cinco grupos de frisos corresponden a D 1 y D 2 .
Para una red de traslación hexagonal dada, hay dos grupos diferentes D 3 , que dan lugar a P31m y p3m1. Para cada uno de los tipos D 1 , D 2 y D 4, la distinción entre los grupos de papel tapiz 3, 4 y 2, respectivamente, está determinada por el vector de traslación asociado con cada reflexión en el grupo: dado que las isometrías están en la misma clase lateral independientemente de los componentes de traslación, una reflexión y una reflexión de deslizamiento con el mismo espejo están en la misma clase lateral. Por lo tanto, los grupos de isometría de, por ejemplo, tipo p4m y p4g se asignan a grupos puntuales de tipo D 4 .
Para un grupo de isometría dado, los conjugados de una traslación en el grupo por los elementos del grupo generan un grupo de traslación (una red ), que es un subgrupo del grupo de isometría que solo depende de la traslación con la que comenzamos y del grupo puntual asociado con el grupo de isometría. Esto se debe a que el conjugado de la traslación por una reflexión de deslizamiento es el mismo que por la reflexión correspondiente: el vector de traslación se refleja.
Si el grupo de isometría contiene una rotación de n pliegues, entonces la red tiene simetría de n pliegues para n par y de 2 n pliegues para n impar . Si, en el caso de un grupo de isometría discreto que contiene una traslación, aplicamos esto para una traslación de longitud mínima, entonces, considerando la diferencia vectorial de traslaciones en dos direcciones adyacentes, se deduce que n ≤ 6, y para n impar que 2 n ≤ 6, por lo tanto n = 1, 2, 3, 4 o 6 (el teorema de restricción cristalográfica ).
