En lógica y razonamiento deductivo , un argumento es sólido si es válido en su forma y no tiene premisas falsas . [1] La solidez tiene un significado relacionado en la lógica matemática , donde un sistema formal de lógica es sólido si y solo si cada fórmula bien formada que se puede probar en el sistema es lógicamente válida con respecto a la semántica lógica del sistema.
En el razonamiento deductivo , un argumento sólido es un argumento que es válido y todas sus premisas son verdaderas (y, en consecuencia, su conclusión también es verdadera). Un argumento es válido si, suponiendo que sus premisas son verdaderas, la conclusión debe ser verdadera. Un ejemplo de un argumento sólido es el siguiente silogismo bien conocido :
Debido a la necesidad lógica de la conclusión, este argumento es válido; y debido a que el argumento es válido y sus premisas son verdaderas, el argumento es sólido.
Sin embargo, un argumento puede ser válido sin ser sólido. Por ejemplo:
Este argumento es válido porque la conclusión debe ser verdadera suponiendo que las premisas son verdaderas. Sin embargo, la primera premisa es falsa. No todos los pájaros pueden volar (por ejemplo, los avestruces). Para que un argumento sea sólido, el argumento debe ser válido y sus premisas deben ser verdaderas. [2]
Algunos autores, como Lemmon , han utilizado el término "solidez" como sinónimo de lo que hoy se entiende por "validez", [3] lo que les ha dejado sin una palabra concreta para lo que hoy se llama "solidez". Pero hoy en día, esta división de los términos está muy extendida.
En lógica matemática , un sistema lógico tiene la propiedad de solidez si cada fórmula que se puede demostrar en el sistema es lógicamente válida con respecto a la semántica del sistema. En la mayoría de los casos, esto se reduce a que sus reglas tienen la propiedad de preservar la verdad . [4] El inverso de la solidez se conoce como completitud .
Un sistema lógico con implicación sintáctica y implicación semántica es sólido si para cualquier secuencia de oraciones en su lenguaje, si , entonces . En otras palabras, un sistema es sólido cuando todos sus teoremas son tautologías .
La solidez es una de las propiedades más fundamentales de la lógica matemática. La propiedad de solidez proporciona la razón inicial para considerar que un sistema lógico es deseable. La propiedad de completitud significa que toda validez (verdad) es demostrable. Juntas implican que todas y solo las validez son demostrables.
La mayoría de las pruebas de solidez son triviales. [ cita requerida ] Por ejemplo, en un sistema axiomático , la prueba de solidez equivale a verificar la validez de los axiomas y que las reglas de inferencia preservan la validez (o la propiedad más débil, la verdad). Si el sistema permite la deducción al estilo de Hilbert , solo requiere verificar la validez de los axiomas y una regla de inferencia, a saber, el modus ponens (y, a veces, la sustitución).
Las propiedades de solidez se presentan en dos variedades principales: solidez débil y solidez fuerte, de las cuales la primera es una forma restringida de la segunda.
La solidez débil de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier oración que sea demostrable en ese sistema deductivo también es verdadera en todas las interpretaciones o estructuras de la teoría semántica para el lenguaje en el que se basa esa teoría. En símbolos, donde S es el sistema deductivo, L el lenguaje junto con su teoría semántica y P una oración de L : si ⊢ S P , entonces también ⊨ L P .
La solidez fuerte de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier oración P del lenguaje en el que se basa el sistema deductivo que sea derivable de un conjunto Γ de oraciones de ese lenguaje es también una consecuencia lógica de ese conjunto, en el sentido de que cualquier modelo que haga que todos los miembros de Γ sean verdaderos también hará que P sea verdadero. En símbolos donde Γ es un conjunto de oraciones de L : si Γ ⊢ S P , entonces también Γ ⊨ L P . Nótese que en el enunciado de solidez fuerte, cuando Γ está vacío, tenemos el enunciado de solidez débil.
Si T es una teoría cuyos objetos de discurso pueden interpretarse como números naturales , decimos que T es aritméticamente correcta si todos los teoremas de T son realmente verdaderos acerca de los números enteros matemáticos estándar. Para más información, véase teoría ω-consistente .
La propiedad inversa de la solidez es la propiedad de completitud semántica . Un sistema deductivo con una teoría semántica es fuertemente completo si cada oración P que es una consecuencia semántica de un conjunto de oraciones Γ puede derivarse en el sistema de deducción a partir de ese conjunto. En símbolos: siempre que Γ ⊨ P , entonces también Γ ⊢ P . La completitud de la lógica de primer orden fue establecida explícitamente por primera vez por Gödel , aunque algunos de los resultados principales estaban contenidos en el trabajo anterior de Skolem .
De manera informal, un teorema de solidez para un sistema deductivo expresa que todas las oraciones demostrables son verdaderas. El teorema de completitud establece que todas las oraciones verdaderas son demostrables.
El primer teorema de incompletitud de Gödel muestra que, para lenguajes que son suficientes para realizar una cierta cantidad de cálculos aritméticos, no puede haber ningún sistema deductivo consistente y efectivo que sea completo con respecto a la interpretación pretendida del simbolismo de ese lenguaje. Por lo tanto, no todos los sistemas deductivos sólidos son completos en este sentido especial de completitud, en el que la clase de modelos (hasta el isomorfismo ) está restringida al pretendido. La prueba de completitud original se aplica a todos los modelos clásicos, no a alguna subclase especial propia de los pretendidos.
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