Relación de plata

Número, aproximadamente 2,41421

En matemáticas , dos cantidades están en la razón de plata (o media de plata ) ^{[1] [2]} si la razón de la mayor de esas dos cantidades a la cantidad menor es la misma que la razón de la suma de la cantidad menor más el doble de la cantidad mayor a la cantidad mayor (ver abajo). Esto define la razón de plata como una constante matemática irracional , cuyo valor de uno más la raíz cuadrada de 2 es aproximadamente 2.4142135623. Su nombre es una alusión a la proporción áurea ; análogamente a la forma en que la proporción áurea es la razón límite de los números de Fibonacci consecutivos , la razón de plata es la razón límite de los números de Pell consecutivos . La razón de plata a veces se denota por δ _S pero puede variar de λ a σ .

Los matemáticos han estudiado la proporción plata desde la época de los griegos (aunque quizás sin darle un nombre especial hasta hace poco) debido a sus conexiones con la raíz cuadrada de 2, sus convergentes, números triangulares cuadrados , números de Pell, octógonos y similares.

La relación descrita anteriormente se puede expresar algebraicamente, para a > b:

${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}}$

o equivalentemente,

${\displaystyle 2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}}$

La proporción de plata también se puede definir mediante la simple fracción continua [2; 2, 2, 2, ...]:

${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}=\delta _{S}}$

Los convergentes de esta fracción continua ( ⁠2/1⁠ , ⁠5/2⁠ , ⁠12/5⁠ , ⁠29/12⁠ , ⁠70/29⁠ , ...) son proporciones de números de Pell consecutivos. Estas fracciones proporcionan aproximaciones racionales precisas de la proporción de plata, análogas a la aproximación de la proporción áurea mediante proporciones de números de Fibonacci consecutivos.

Un octágono regular descompuesto en un rectángulo plateado (gris) y dos trapecios (blancos)

El rectángulo plateado está conectado al octógono regular . Si un octógono regular se divide en dos trapecios isósceles y un rectángulo, entonces el rectángulo es un rectángulo plateado con una relación de aspecto de 1: δ _S , y los 4 lados de los trapecios están en una relación de 1:1:1: δ _S . Si la longitud del borde de un octógono regular es t , entonces la distancia entre los lados opuestos del octógono es δ _S t , y el área del octógono es 2 δ _S t ² . ^[3]

Cálculo

A modo de comparación, se dice que dos cantidades a , b con a  >  b  > 0 están en la proporción áurea φ si,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }$

Sin embargo, están en la proporción de plata δ _S si,

${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}.}$

De manera equivalente,

${\displaystyle 2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle 2+{\frac {1}{\delta _{S}}}=\delta _{S}.}$

Multiplicando por δ _S y reordenando obtenemos

${\displaystyle {\delta _{S}}^{2}-2\delta _{S}-1=0.}$

Utilizando la fórmula cuadrática se pueden obtener dos soluciones. Como δ _S es el cociente de cantidades positivas, es necesariamente positivo, por lo que:

${\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}=2.41421356237\dots }$

Propiedades

Si se cortan dos de los cuadrados más grandes posibles de un rectángulo de plata, se obtiene un rectángulo de plata, sobre el cual se puede repetir el proceso...

Espirales de plata dentro del rectángulo de plata.

Además del rectángulo plateado, la proporción de plata también está relacionada con el octágono regular y las siguientes formas 3D:

1.Cubo truncado

2. Icositetraedro deltoidal

3.Cuboctaedro rómbico

Propiedades de la teoría de números

La relación de plata es un número de Pisot-Vijayaraghavan (número PV), ya que su conjugado 1 − √ 2 = ⁠-1/delta _S⁠ ≈ −0,41421 tiene un valor absoluto menor que 1. De hecho, es el segundo número PV cuadrático más pequeño después de la proporción áurea. Esto significa que la distancia desde δ_en  ^S
al entero más cercano es ⁠1/del_en  ^S
⁠ ≈ 0,41421 ⁿ . Por lo tanto, la secuencia de partes fraccionarias de δ_en  ^S
, n = 1, 2, 3, ... (tomados como elementos del toro) converge. En particular, esta secuencia no es equidistribuida módulo 1 .

Potestades

Las potencias inferiores de la proporción de plata son

${\displaystyle \delta _{S}^{-1}=1\delta _{S}-2=[0;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 0.41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{0}=0\delta _{S}+1=[1]=1}$

${\displaystyle \delta _{S}^{1}=1\delta _{S}+0=[2;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 2.41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1=[5;1,4,1,4,1,\dots ]\approx 5.82842}$

${\displaystyle \delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2=[14;14,14,14,\dots ]\approx 14.07107}$

${\displaystyle \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5=[33;1,32,1,32,\dots ]\approx 33.97056}$

Los poderes continúan en el patrón

${\displaystyle \delta _{S}^{n}=K_{n}\delta _{S}+K_{n-1}}$

dónde

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

Por ejemplo, utilizando esta propiedad:

${\displaystyle \delta _{S}^{5}=29\delta _{S}+12=[82;82,82,82,\dots ]\approx 82.01219}$

Utilizando K ₀ = 1 y K ₁ = 2 como condiciones iniciales, resulta una fórmula similar a Binet al resolver la relación de recurrencia.

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

que se convierte en

${\displaystyle K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(\delta _{S}^{n+1}-{(2-\delta _{S})}^{n+1}\right)}$

Propiedades trigonométricas

La proporción de plata está íntimamente relacionada con las razones trigonométricas para ⁠π/8⁠ = 22,5° .

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1={\frac {1}{\delta _{s}}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\tan {\frac {3\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1=\delta _{s}}$

Entonces el área de un octágono regular con un lado de longitud a está dada por

${\displaystyle A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2\delta _{s}a^{2}\simeq 4.828427a^{2}.}$

En la función: El rango de la función es: ${\displaystyle y=sinx+cosx}$

cos (2tan ^-1 δ _S ) - sin (2 tan ^-1 δ _S ) ≤ y ≤ cos (2 tan ^-1 ⁠-1/delta _S⁠ ) ​​- pecado (2 tan ^-1 ⁠-1/delta _S⁠ )

Para todos los números reales, x.

Véase también

• Medios metálicos
• Proporción áurea
• Relación de superplata
• Azulejos Ammann-Beenker

Referencias

1. Vera W. de Spinadel (1999). La familia de medias metálicas, Vismath 1(3) del Instituto de Matemáticas de la Academia Serbia de Ciencias y Artes .
2. de Spinadel, Vera W. (1998). Williams, Kim (ed.). "Los medios metálicos y el diseño". Nexus II: Arquitectura y matemáticas . Fucecchio (Florencia): Edizioni dell'Erba: 141–157.
3. Kapusta, Janos (2004), "El cuadrado, el círculo y la proporción áurea: una nueva clase de construcciones geométricas" (PDF) , Forma , 19 : 293–313.

Lectura adicional

• Buitrago, Antonia Redondo (2008). "Polígonos, diagonales y la media del bronce", Nexus Network Journal 9,2: Architecture and Mathematics , p.321-2. Springer Science & Business Media. ISBN 9783764386993 . 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "El índice de plata". MathWorld .
• "Una introducción a las fracciones continuas: la media de plata Archivado el 8 de diciembre de 2018 en Wayback Machine ", Números de Fibonacci y la sección áurea .
• "Rectángulo de plata y su secuencia" en Tartapelago de Giorgio Pietrocola