En optimización matemática , la función de perturbación es cualquier función relacionada con problemas primarios y duales . El nombre proviene del hecho de que cualquier función de este tipo define una perturbación del problema inicial. En muchos casos, esto toma la forma de un desplazamiento de las restricciones. [1]
En algunos textos la función de valor se denomina función de perturbación, y la función de perturbación se denomina bifunción . [2]
Definición
Dados dos pares duales de espacios localmente convexos separados y . Entonces, dada la función , podemos definir el problema primal mediante
Si existen condiciones de restricción, estas se pueden incorporar a la función haciendo que donde es la función característica . Entonces es una función de perturbación si y solo si . [1] [3]
Uso en dualidad
La brecha de dualidad es la diferencia entre el lado derecho e izquierdo de la desigualdad.
donde es el conjugado convexo en ambas variables. [3] [4]
Para cualquier elección de función de perturbación F se cumple la dualidad débil . Hay una serie de condiciones que, si se cumplen, implican dualidad fuerte . [3] Por ejemplo, si F es propia , conjuntamente convexa , semicontinua inferior con (donde es el interior algebraico y es la proyección sobre Y definida por ) y X , Y son espacios de Fréchet , entonces se cumple la dualidad fuerte. [1]
Ejemplos
Lagrangiano
Sean y pares duales. Dado un problema primal (minimizar f ( x )) y una función de perturbación relacionada ( F ( x , y )), entonces el lagrangiano es el conjugado negativo de F con respecto a y (es decir, el conjugado cóncavo). Es decir, el lagrangiano se define por
En particular, se puede demostrar que la ecuación minmax de dualidad débil es
Si el problema primal está dado por
donde . Entonces, si la perturbación está dada por
entonces la función de perturbación es
De esta manera se puede ver la conexión con la dualidad lagrangiana, ya que se puede ver trivialmente que L es
Dualidad de Fenchel
Sean y pares duales. Supongamos que existe una función lineal con operador adjunto . Supongamos que la función objetivo primaria (incluidas las restricciones por medio de la función indicadora) se puede escribir como tal que . Entonces la función de perturbación está dada por
En particular, si el objetivo primordial es entonces la función de perturbación está dada por , que es la definición tradicional de la dualidad de Fenchel . [5]
Referencias
- ^ abc Radu Ioan Boţ; Gert Wanka; Sorin-Mihai Grad (2009). Dualidad en optimización vectorial . Springer. ISBN 978-3-642-02885-4.
- ^ JP Ponstein (2004). Enfoques de la teoría de la optimización . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-60491-8.
- ^ abc Zălinescu, C. (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc., págs. 106-113. ISBN 981-238-067-1.Señor 1921556 .
- ^ Ernö Robert Csetnek (2010). Superando el fracaso de las condiciones clásicas de regularidad generalizada de punto interior en la optimización convexa. Aplicaciones de la teoría de dualidad a ampliaciones de operadores monótonos máximos . Logos Verlag Berlin GmbH. ISBN 978-3-8325-2503-3.
- ^ Radu Ioan Boţ (2010). Dualidad conjugada en optimización convexa . Springer. pág. 68. ISBN 978-3-642-04899-9.