En geometría , dos objetos geométricos son perpendiculares si su intersección forma ángulos rectos ( ángulos de 90 grados o π/2 radianes de ancho) en el punto de intersección llamado pie . La condición de perpendicularidad se puede representar gráficamente mediante el símbolo de perpendicular , ⟂. Las intersecciones perpendiculares pueden ocurrir entre dos líneas (o dos segmentos de línea), entre una línea y un plano, y entre dos planos.
La perpendicularidad es un ejemplo particular del concepto matemático más general de ortogonalidad ; la perpendicularidad es la ortogonalidad de los objetos geométricos clásicos. Por ello, en matemáticas avanzadas, la palabra "perpendicular" se utiliza a veces para describir condiciones de ortogonalidad geométrica mucho más complicadas, como la que existe entre una superficie y su vector normal .
Se dice que una línea es perpendicular a otra línea si las dos líneas se intersecan en un ángulo recto. [2] Explícitamente, una primera línea es perpendicular a una segunda línea si (1) las dos líneas se encuentran; y (2) en el punto de intersección el ángulo recto en un lado de la primera línea es cortado por la segunda línea en dos ángulos congruentes . Se puede demostrar que la perpendicularidad es simétrica , lo que significa que si una primera línea es perpendicular a una segunda línea, entonces la segunda línea también es perpendicular a la primera. Por esta razón, podemos hablar de dos líneas como perpendiculares (entre sí) sin especificar un orden. Un gran ejemplo de perpendicularidad se puede ver en cualquier brújula, note los puntos cardinales; Norte, Este, Sur, Oeste (NESW) La línea NS es perpendicular a la línea WE y los ángulos NE, ES, SW y WN son todos de 90° entre sí.
La perpendicularidad se extiende fácilmente a segmentos y semirrectas . Por ejemplo, un segmento de línea es perpendicular a otro segmento de línea si, cuando cada uno de ellos se extiende en ambas direcciones para formar una línea infinita, estas dos líneas resultantes son perpendiculares en el sentido anterior. En símbolos, significa que el segmento de línea AB es perpendicular al segmento de línea CD. [3]
Se dice que una línea es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las líneas del plano que interseca. Esta definición depende de la definición de perpendicularidad entre líneas.
Se dice que dos planos en el espacio son perpendiculares si el ángulo diedro en el que se encuentran es un ángulo recto.
La palabra pie se utiliza con frecuencia en relación con las perpendiculares. Este uso se ejemplifica en el diagrama superior y su título. El diagrama puede tener cualquier orientación. El pie no está necesariamente en la parte inferior.
Más precisamente, sea A un punto y m una recta. Si B es el punto de intersección de m y la única recta que pasa por A y es perpendicular a m , entonces B se denomina pie de esta perpendicular que pasa por A .
Para realizar la perpendicular a la línea AB a través del punto P utilizando la construcción con compás y regla , proceda de la siguiente manera (ver figura de la izquierda):
Para demostrar que PQ es perpendicular a AB, utilice el teorema de congruencia LLL para QPA' y QPB' para concluir que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego utilice el teorema de congruencia LSL para los triángulos OPA' y OPB' para concluir que los ángulos POA y POB son iguales.
Para hacer la perpendicular a la línea g en o a través del punto P usando el teorema de Thales , vea la animación a la derecha.
El teorema de Pitágoras se puede utilizar como base para los métodos de construcción de ángulos rectos. Por ejemplo, contando los eslabones, se pueden hacer tres trozos de cadena con longitudes en la proporción 3:4:5. Estos se pueden disponer para formar un triángulo, que tendrá un ángulo recto opuesto a su lado más largo. Este método es útil para diseñar jardines y campos, donde las dimensiones son grandes y no se necesita una gran precisión. Las cadenas se pueden utilizar repetidamente siempre que sea necesario.
Si dos rectas ( a y b ) son perpendiculares a una tercera recta ( c ), todos los ángulos formados a lo largo de la tercera recta son rectos. Por lo tanto, en geometría euclidiana , dos rectas cualesquiera que sean perpendiculares a una tercera recta son paralelas entre sí, debido al postulado de las paralelas . Por el contrario, si una recta es perpendicular a una segunda recta, también es perpendicular a cualquier recta paralela a esa segunda recta.
En la figura de la derecha, todos los ángulos sombreados en naranja son congruentes entre sí y todos los ángulos sombreados en verde son congruentes entre sí, porque los ángulos verticales son congruentes y los ángulos alternos internos formados por una transversal que corta líneas paralelas son congruentes. Por lo tanto, si las líneas a y b son paralelas, cualquiera de las siguientes conclusiones conduce a todas las demás:
En geometría , la distancia perpendicular entre dos objetos es la distancia de uno a otro, medida a lo largo de una línea que es perpendicular a uno o ambos.
La distancia de un punto a una línea es la distancia al punto más cercano de esa línea, es decir, el punto en el que un segmento que va desde ese punto hasta el punto dado es perpendicular a la línea.
Del mismo modo, la distancia de un punto a una curva se mide mediante un segmento de línea que es perpendicular a una línea tangente a la curva en el punto más cercano de la curva.
La distancia de un punto a un plano se mide como la longitud desde el punto a lo largo de un segmento que es perpendicular al plano, lo que significa que es perpendicular a todas las líneas en el plano que pasan por el punto más cercano en el plano hasta el punto dado.
Otros ejemplos incluyen:
La regresión perpendicular ajusta una línea a los puntos de datos al minimizar la suma de las distancias perpendiculares al cuadrado desde los puntos de datos hasta la línea. Existen otros métodos de ajuste de curvas geométricas que utilizan la distancia perpendicular para medir la calidad de un ajuste, como los mínimos cuadrados totales .
El concepto de distancia perpendicular puede generalizarse a
En el plano bidimensional, los ángulos rectos pueden formarse mediante dos líneas intersectadas si el producto de sus pendientes es igual a −1. Por lo tanto, para dos funciones lineales y , las gráficas de las funciones serán perpendiculares si
El producto escalar de vectores también se puede utilizar para obtener el mismo resultado: primero, desplaza las coordenadas de modo que el origen se sitúe en el punto donde se cruzan las líneas. Luego, define dos desplazamientos a lo largo de cada línea, , para Ahora, utiliza el hecho de que el producto interno se anula para los vectores perpendiculares:
Ambas pruebas son válidas para líneas horizontales y verticales en la medida en que podemos dejar una pendiente igual a , y tomar el límite que Si una pendiente tiende a cero, la otra tiende a infinito.
Cada diámetro de un círculo es perpendicular a la línea tangente a ese círculo en el punto donde el diámetro interseca el círculo.
Un segmento de línea que pasa por el centro de un círculo y biseca una cuerda es perpendicular a la cuerda.
Si la intersección de dos cuerdas perpendiculares divide una cuerda en longitudes a y b y divide la otra cuerda en longitudes c y d , entonces a 2 + b 2 + c 2 + d 2 es igual al cuadrado del diámetro. [4]
La suma de las longitudes al cuadrado de dos cuerdas perpendiculares cualesquiera que se intersecan en un punto dado es la misma que la de otras dos cuerdas perpendiculares cualesquiera que se intersecan en el mismo punto, y está dada por 8 r 2 – 4 p 2 (donde r es el radio del círculo y p es la distancia desde el punto central hasta el punto de intersección). [5]
El teorema de Tales establece que dos rectas que pasan por el mismo punto de un círculo pero por extremos opuestos de un diámetro son perpendiculares. Esto equivale a decir que cualquier diámetro de un círculo subtiende un ángulo recto en cualquier punto del círculo, excepto en los dos extremos del diámetro.
Los ejes mayor y menor de una elipse son perpendiculares entre sí y a las líneas tangentes a la elipse en los puntos donde los ejes intersecan la elipse.
El eje mayor de una elipse es perpendicular a la directriz y a cada lado recto .
En una parábola , el eje de simetría es perpendicular a cada uno de los lados rectos, la directriz y la línea tangente en el punto donde el eje interseca la parábola.
Desde un punto de la línea tangente al vértice de una parábola, la otra línea tangente a la parábola es perpendicular a la línea desde ese punto a través del foco de la parábola .
La propiedad ortóptica de una parábola es que si dos tangentes a la parábola son perpendiculares entre sí, entonces se cortan en la directriz. A la inversa, dos tangentes que se cortan en la directriz son perpendiculares. Esto implica que, vista desde cualquier punto de su directriz, cualquier parábola subtiende un ángulo recto.
El eje transversal de una hipérbola es perpendicular al eje conjugado y a cada directriz.
El producto de las distancias perpendiculares desde un punto P en una hipérbola o en su hipérbola conjugada a las asíntotas es una constante independiente de la ubicación de P.
Una hipérbola rectangular tiene asíntotas perpendiculares entre sí. Tiene una excentricidad igual a
Los catetos de un triángulo rectángulo son perpendiculares entre sí.
Las alturas de un triángulo son perpendiculares a sus respectivas bases . Las mediatrices de los lados también juegan un papel importante en la geometría de los triángulos.
La línea de Euler de un triángulo isósceles es perpendicular a la base del triángulo.
El teorema de la línea Droz-Farny se refiere a una propiedad de dos líneas perpendiculares que se intersecan en el ortocentro de un triángulo .
El teorema de Harcourt se refiere a la relación de los segmentos de línea que pasan por un vértice y son perpendiculares a cualquier línea tangente al círculo inscrito del triángulo .
En un cuadrado u otro rectángulo , todos los pares de lados adyacentes son perpendiculares. Un trapezoide rectángulo es un trapezoide que tiene dos pares de lados adyacentes que son perpendiculares.
Cada una de las cuatro magnitudes de un cuadrilátero es una perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del lado opuesto.
Un cuadrilátero ortodiagonal es un cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares. Entre ellos se encuentran el cuadrado , el rombo y la cometa . Según el teorema de Brahmagupta , en un cuadrilátero ortodiagonal que también es cíclico , una línea que pasa por el punto medio de un lado y por el punto de intersección de las diagonales es perpendicular al lado opuesto.
Según el teorema de van Aubel , si se construyen cuadrados en el exterior de los lados de un cuadrilátero, los segmentos de línea que unen los centros de los cuadrados opuestos son perpendiculares e iguales en longitud.
Hasta tres líneas en el espacio tridimensional pueden ser perpendiculares entre sí, como lo ejemplifican los ejes x, y y z de un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional .
